Question

已知奇函数f(x)在R上是增函数,是否存在这样的实数m,使得对于所有θ∈[0,π/2]不等式f(4m-2mcosθ)-f(

已知奇函数f(x)在R上是增函数,是否存在这样的实数m,使得对于所有θ∈[0,π/2]不等式f(4m-2mcosθ)-f(2sin²θ+2)>f(0)都能成立？

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Answer 1

假设存在；
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0；
所以，原不等式化为：f(4m-2mcosθ)-f(2sin²θ+2)>0
即：f(4m-2mcosθ)>f(2sin²θ+2)
因为f(x)是R上的增函数
所以：4m-2mcosθ>2sin²θ+2
2m-mcosθ>sin²θ+1
m(2-cosθ)>sin²θ+1 显然2-cosθ>0
m>(sin²θ+1)/(2-cosθ)
则m要大于(sin²θ+1)/(2-cosθ)在θ∈[0,π/2]上的最大值；
令y=(sin²θ+1)/(2-cosθ) 令2-cosθ=t，
因为θ∈[0,π/2]，所以cosθ∈[0,1]，即t∈[0,1]；
2-cosθ=t，则cosθ=2-t，则sin²θ=1-cos²θ=1-(2-t)²=-t²+4t-3；
所以：y=(-t²+4t-3+1)/t=(-t²+4t-2)/t=-t-2/t+4=4-(t+2/t)
t+2/t是对勾函数，勾底是t=√2，所以在t∈[0,1]是递减的，
则y=4-(t+2/t)在t∈[0,1]上是递增
当t=1时，y取得最大值为1；
所以，y=(sin²θ+1)/(2-cosθ)在θ∈[0,π/2]上的最大值为1；
所以，实数m的取值范围为：m>1；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！