Question

已知椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点

AF2⊥F1F2,远点O到直线AF1的距离为1/3|OF1|.若b=1，设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2,过原点O做直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D,求D的轨迹方程。

Answer 1

设点D的坐标为（x0，y0）．当y0≠0时，由OD⊥Q1Q2知，直线Q1Q2的斜率为-x0/y0 ，
所以直线Q1Q2的方程为y=-x0/y0（x-x0）+y0 ，或y=kx+m，其中k=-x0/y0 m=y0+x0^2/y0
点Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）的坐标满足方程组将y=kx+m式代入x*x+2y*y=2b*b
得x2+2（kx+m）2=2b2．整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2b2=0．
x1+x2=-4km/1+2k*k x1*x2=（2m*m-2b*b）/1+2k*k
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2= （m^3-2b*b*k*k）/1+2k*k
由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0．代入得 ，3m2=2b2（1+k2）．
将 k=-x0/y0 m=y0+x0^2/y0
代入上式，整理得 x0*x0+y0*y0=2/3 b*b．
当y0=0时，直线Q1Q2的方程为x=x0．点Q1（x1，y0），Q2（x2，y2）的坐标满足方程组 x=x0
x*x+2y*y=2b*b所以x1=x2=x0 y2=正负（根下（（2*b*b-x2*x0）/2））
由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0，即x0-（（2*b*b-x2*x0）/2 ，解得 x0*x0=2/3 b*b
这时，点D的坐标仍满足 ．x0*x0+y0*y0=2/3 b*b
综上，点D的轨迹方程为 ．x*x+y*y=2/3 b*b

Answer 2

x*x+y*y=2/3 b*b