Question

高等数学第二类换元法

1. ∫ 1 / [ x √(x^2-1) ] dx

arecos 1/|x| + C

2. ∫ √(x^2 - 1) / x dx

答案:
√(x^2-1) + arccos (1/x) + C , 当x<-1
√(x^2-1) + arccos (1/x) + C , 当x> 1
我被课本搞到乱七八糟
我按照课本上所写的方法分情况 x>a x<-a
但是还是与答案不符......
我概念很弱
求老师或师兄姐或同级高手解答

Answer 1

1、当x>1时，令x=secu，则(1/x)=cosu，则√(x^2-1)=tanu，dx=secutanudu
原式=∫ 1 / [ secu*tanu ] *secutanu du=∫ 1du=u+C=arccos(1/x)+C
当x<-1时，令t=-x，则t>1，dx=-dt
∫ 1 / [ x √(x^2-1) ] dx = ∫ 1 / [(-t) √(t^2-1) ] d(-t)= ∫ 1 / [t √(t^2-1) ] dt，与刚才那个完全一样，直接用刚才的结果，得arccos(1/t)+C=arccos(-1/x)+C，
两个结合就得到：arccos 1/|x| + C
2、类似，当x>1时，令x=secu，则(1/x)=cosu，则√(x^2-1)=tanu，dx=secutanudu
原式= ∫ (tanu /secu) *secutanu du=∫ (tanuj)^2 du=∫ [(secuj)^2-1] du=tanu-u+C
=√(x^2-1)-arccos(1/x)+C
当x<-1时，令t=-x，则t>1，dx=-dt
∫ √(x^2 - 1) / x dx = ∫ √(t^2 - 1) /(-t) d(-t)= ∫ √(t^2 - 1) / t dt
与刚才完全一样，直接用刚才结果，得：√(t^2-1)-arccos(1/t)+C=√(x^2-1)+arccos(1/x)+C
这道题你答案写错了。

追问

嗯嗯, 答案最后是写错了
有个问题啊
最后那个
√(t^2-1)-arccos(1/t)+C=√(x^2-1)+arccos(1/x)+C
t = -x 則 1/t = -1/x
arccos(1/t) = arccos(-1/x) = - arccos(1/x) ???
为什么负号会变正号

追答

我写错了，应该是，√(t^2-1)-arccos(1/t)+C=√(x^2-1)-arccos(-1/x)+C
综上，最后结果为√(x^2-1)-arccos(1/|x|)+C

这个负号不能提出来的，哈哈。

追问

但是我书上写的答案是
√(x^2-1) + arccos (1/x) + C , 当x 1

是书本上的答案错了吗??
但是把两个情况的答案求导
结果都是跟题目一样啊~那到底是哪里出问题了??

追答

我刚才晕头了，这个也是对的。
当a<0时，arccos(-a)=π-arccos(a)
因此当x<-1时，√(x^2-1) - arccos (-1/x) + C=√(x^2-1) - [π- arccos (1/x) ]+ C
=√(x^2-1) - π + arccos (1/x) + C
然后-π合并到常数C里面去了，这个也是对的。
写成√(x^2-1) - arccos |1/x| + C也对

Answer 2

∫ dx/[ x √(x^2-1) ] =∫ dx/ [ x^2 √(1-1/x^2) ]=-∫ d(1/x) / √(1-(1/x)^2)=arccos1/x+C

∫ √(x^2-1) dx/x=∫ √(1-1/x^2)dx=x√(1-1/x^2)-∫ xd√(1-1/x^2)
[1-1/x^2]'=2/x^3 [√(1-1/x^2)]'=(2/x^3)(1/2)*(1/√(1-1/x^2))
=√(x^2-1)-∫ dx/[x^2√(1-1/x^2)]
=√(x^2-1)+arccos(1/x)+C

Answer 3

发到我邮箱我帮你解答，这上面发的不好看~ 1015767126@qq.com