Question

若F1，F2是椭圆C:x^2/8+y^2/4=1的焦点，求在C上满足PF1垂直于PF2的点的个数

解题过程详细点，谢谢~

Answer 1

若F₁，F₂是椭圆C:x²/8+y²/4=1的焦点，求在C上满足PF₁垂直于PF₂的点的个数
解：椭圆参数：a=2√2，b=2，c=2，F₁(-2，0)，F₂(2，0)；设P(x，y)；
向量PF₁=(-2-x，-y)；向量PF₂=(2-x，-y)；PF₁⊥PF₂，故
PF₁•PF₂=-(2+x)(2-x)+(-y)(-y)=-4+x²+y²=0
即点P在方程为x²+y²=4的圆上；圆心在(0，0)，半径R=2=b，因此该圆与椭圆内切于椭圆的上下
两个顶点(0，2)和(0，-1)，故满足题目要求的点只有两个。

Answer 2

椭圆C:x^2/8+y^2/4=1焦点在x轴上
a=2√2，b=2，=>　c²=a²-b²=4，c=2；焦点为F1(-2,0),F2(2,0)
设P(x,y)在椭圆上，则P满足方程x^2/8+y^2/4=1 => y^2=4-x^2/2
PF1斜率k1=y/(x+2)，PF2斜率k2=y/(x-2)
当PF1垂直于PF2时，有 k1k2=-1=y^2/(x^2-4)=(4-x^2/2)/(x^2-4)
整理得 4-x^2=4-x^2/2，解得 x=0，此时y=±b=±2
∴满足PF1垂直于PF2的点有两个：(0,-2)，(0,2)

Answer 3

a=2√2，b=2，所以　c²=a²-b²=4，c=2
设B(0,2)，则在直角三角形BF1O中，b=c=2，所以　∠F1BO=45°，从而∠F1BF2=90°
即　BF1⊥BF2，从而，根据对称性，
满足PF1⊥PF2的点的个数为2

Answer 4

解：设|PF1|=m，|PF2|=n
则m+n=2a=4 2，m2+n2=（2c）2=16
∴mn= (m+n)2-(m2+n2)2=8
所以m，n是一元二次方程x2-4 2x+8=0的两根
判别式△=32-32=0故此方程有一个实根，
根据椭圆的对称性可知椭圆上存在2个点P满足PF1⊥PF2
故答案为2．
法二：（几何法）由椭圆的图形知∠F1BF2=900，故这样的P点只能有两个．
故答案为2．