Question

已知f(x)是奇函数,且f(x+1)=-f(x),当x∈(0,1)时，f(x)=2^x,求值f(log½23)=

½是底数

Answer 1

在　
f(x+1)=-f(x)　　　　（1）
中用x+1替换x，得
f(x+2)=-f(x+1) （2）
对比（1）（2）得
f(x+2)=f(x)
所以　f(x)是以2为周期的周期函数。
由于　　log½32<log½23<log½16，即-5<log½23<-4
所以　-1<4+log½23<0，即-1<log½(23/16)<0，0<log2(23/16)<1 注：2是底数
所以　f(log½23)=f(4+log½23)=f[log½(23/16)]=-f[log2(23/16)]=-2^[log2(23/16)]=-23/16

Answer 2

f(x+1)=-f(x)
f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-(-f(x))=f(x)
f(log½23)=f(-log2(23))=-f(log2(23))
f(log2(23))=f(log2(23)-4)=f(log2(23)-log2(2^4))=f(log2(23/16))
1<23/16<2
0<log2(23/16)<1
f(log2(23/16))=2^(log2(23/16))=23/16
f(log½23)=- 23/16

Answer 3

x∈(0,1) f(x)=2^x, 又f(x+1)=-f(x),故当x∈(-1,0)时，x+1∈(0,1) f(x+1)=2^(x+1),所以f(x)=-2^(x+1)
当x∈(-2,-1)时，x+1∈(-1,0),f(x+1)=-2^(x+2),所以f(x)=-f(x+1)=2^(x+2)
当x∈(-3,-2)时,x+1∈(-2,-1),f(x+1)=2^(x+3),所以f(x)=-f(x+1)=-2^(x+3)
当x∈(-4,-3)时,x+1∈(-3,-2),f(x+1)=-2^(x+4),所以f(x)=-f(x+1)=2^(x+4)
当x∈(-5,-4)时,x+1∈(-4,-3),f(x+1)=2^(x+5),所以f(x)=-f(x+1)=-2^(x+5)
因为log½23∈（-5，-4）所以f(log½23)=-2^(log½23+5)=-2^(log½23-log½32)=-2^(log½(23/32))
=-(1/2)^(log½(32/23))=-32/23