Question

已知f(x)是定义域在R上的偶函数,定义在R上的奇函数g(x)过点(-1,3)且fg(x)=f(x-1)，则f(2007)+f(2008)

Answer 1

∵f[g(x)]=f(x-1)，
∴f[g(-x)]=f(-x-1)，
∴f[g(x)]=f(-x-1)，即f[g(x)]=f(x+1)。（根据两个函数的奇偶性）
∴f(x-1)=f(x+1)，
∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x)，
因此，2是函数f(x)的周期。
∴f(2007)+f(2008)=f(1)+f(0)。

f[g(x)]=f(x-1)中，令x=0得f[g(0)]=f(-1)=f(1)。而由函数g(x)是奇函数知g(0)=0，
∴f(0)=f(1)。
f[g(x)]=f(x-1)中，令x=1得f[g(1)]=f(0)。
由已知，g(-1)=3，即g(1)=-3,∴f(-3)=f(0)。
∴f(2007)+f(2008)=f(1)+f(0)=2f(0)=2f(3)。
你确定已知条件没有漏写？