Question

f(x)=(2│x+1│-│3-x│)x,则f(x)可化为分段函数是？？

f(x)=(2│x+1│-│3-x│)x,则f(x)可化为分段函数是？？

我看不懂它的参考答案，参考答案是：

当x<-1时，f(x)=-x(2x+2-x+3)=-(x^2)-5x;
当-1≤x<3时，f(x)=x(2x+2-3+x)=3(x^2)-x;
当x≥3时，f(x)=x(2x+2-x+3)=(x^2)+5x,因此

f(x)=
① (-x^2)-5x x<-1
② (3x^2)-x -1≤x<3
③(x^2)+5x x≥3

我要问的是，当x<-1时，是如何得出 f(x)=-x(2x+2-x+3)=-(x^2)-5x ?
当-1≤x<3时，是如何得出 f(x)=x(2x+2-3+x)=3(x^2)-x？？？
当x≥3时， 又如何得出 f(x)=x(2x+2-x+3)=(x^2)+5x ？？？

我看不懂它们是如何由x的取值范围推导出那些后面的算式的，请大家详细说说这个过程~~谢谢
我觉得你们中回答很有道理，但是我觉得有一个地方很蹊跷：
你们中的回答：“当x<-1时,x+1<0,3-x>0 ”和“当-1≤x<3时,x+1≥0,3-x>0 ”（请注意那个“3-x>0”）
而参考答案是：
当x<-1时，是如何得出 f(x)=-x(2x+2-x+3)=-(x^2)-5x
当-1≤x<3时，是如何得出 f(x)=x(2x+2-3+x)=3(x^2)-x

兄弟，看到了蹊跷没有？“f(x)=-x(2x+2-x+3)”和“f(x)=x(2x+2-3+x)” 这两步算式的共同点是“3-x>0”，为啥参考答案的算式这部分不一样？

Answer 1

关于这类分段函数,主要是根据绝对值号内的式子的正负去掉绝对值号,
因而是令绝对值号内的式子等于0,解出x值,从而将数轴分成几段,在从左到右,分别讨论绝对值内的式子的正负,从而达到去掉绝对值号的目的
在本题中,令x+1=0,得x=-1
3-x=0,得x=3
则,x=-1,x=3这两个点将数轴分成三段
现分段讨论如下:
当x<-1时,x+1<0,3-x>0
则,|x+1|=-(x+1),|3-x|=3-x
f(x)=[(-2(x+1)-(3-x)]x
=-(x^2)-5x
当-1≤x<3时,x+1≥0,3-x>0
则,|x+1|=x+1,|3-x|=3-x
f(x)=[2(x+1)-(3-x)]x
=3(x^2)-x;
当x≥3时,x+1>1,3-x≤0
则,|x+1|=x+1,|3-x|=-(3-x)=x-3
f(x)=x(2x+2-x+3)
=(x^2)+5x

Answer 2

f(x)=(2│x+1│-│3-x│)x,则f(x)可化为分段函数是？？
这个讨论主要是去掉绝对值的问题
|x+1| 与|3-x| 去掉绝对值以后的正负问题
1' x<-1
f(x)=[-2(x+1)-3+x]x=-x^2-5x
2' -1≤x<3
f(x)=[2(x+1)-3+x]x=3x^2-x
3' x≥3
f(x)=[2(x+1)-x+3]=x^2+5x
注意:当x<-1时，是如何得出 f(x)=-x(2x+2-x+3)=-(x^2)-5x
当-1≤x<3时，是如何得出 f(x)=x(2x+2-3+x)=3(x^2)-x

兄弟，看到了蹊跷没有？“f(x)=-x(2x+2-x+3)”和“f(x)=x(2x+2-3+x)” 这两步算式的共同点是“3-x>0”，为啥参考答案的算式这部分不一样？
第一个他已经把负号提出来了 你看我做的 不把负号提出来就一样的

Answer 3

当x<-1时,x+1<0,3-x>0,所以│x+1│=-x-1,│3-x│=3-x

当-1≤x<3时，x+1>0,3-x>0,所以,│x+1│=x+1,│3-x│=3-x

当x≥3时，x+1>0,3-x<0,所以,,│x+1│=x+1,│3-x│=x-3

Answer 4

f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+(1/x)^2/(1+1/x^2)=x^2/(1+x^2)+1/(x^2+1)=(x^2+1)/(x^2+1)=1

得证！

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1/2)+f(1/3)+f(1/4)

=f(1)+[f(2)+f(1/2)]+[f(3)+f(1/3)]+[f(4)+f(1/4)]

=1/(1+1)+1+1+1

=3.5