Question

线性代数 一道行列式求过程

题目如图，求详细过程。

Answer 1

前一道题可能只能按照代数余子式的定义来求了。
后一道题由于伴随矩阵的元素是原矩阵的代数余子式，所以可先求该行列式所对应的矩阵的逆，再将其每个元素均乘以这个行列式的值，这样所得的新矩阵即为伴随矩阵，它的第一列元素即为A11，……A1n，把它们加到一起就得到了解。

追问

我已经想出来怎么做了，利用推论：行列式某一行与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于0即可，计算非常严密。

Answer 2

1. 解: 按第4行展开得
D4 = A41+A42+2A43+2A44 = -6
因为第2行的元素与第4行元素的代数余子式的乘积之和等于0
所以 3A41+3A42+4A43+4A44 = 0
即有
(A41+A42)+2(A43+A44) = -6
3(A41+A42)+4(A43+A44) = 0
解得 A41+A42=12, A43+A44=-9.

2. 作辅助行列式D, 将原行列式第1行元素换成 1 1 1 ... 1
所求和即为 D= (1+1/2+1/3+...1/n) n!