Question

求积分x^3arccosxdx/(1-x^2)^1/2

Answer 1

分部积分法：
令x=cosφ,∫ (x³)/√(1-x²)dx=∫cos³φ/sinφdcosφ=∫ -cos³φdφ=∫-cos²φdcosφ=∫sin²φ-1dsinφ
=(1/3)sin³φ-sinφ+c=(1/3)sinφ(-coφ)+c=-(1/3)√(1-x²)x²+c
∫ (x³arccosx)/√(1-x²)dx=∫ arccosxd(-(1/3)√(1-x²)x²)=-(1/3)√(1-x²)x²arccosx+∫[√(1-x²)]x²/[3√(1-x²)]dx
=-(1/3)√(1-x²)x²arccosx+x³

追问

答案不是你这个。。

追答

恩 我第一个积分不对。
令x=cosφ,∫ (x³)/√(1-x²)dx=∫cos³φ/sinφdcosφ=∫ -cos³φdφ=∫-cos²φdcosφ=∫sin²φ-1dsinφ
=(1/3)sin³φ-sinφ+c=(1/3)[(1-x²)^(3/2)]-√(1-x²)+c
∫(x³arccosx)/√(1-x²)dx=∫ arccosxd{(1/3)[(1-x²)^(3/2)]-√(1-x²)}
=arccosx{(1/3)[(1-x²)^(3/2)]-√(1-x²)}-∫{(1/3)[(1-x²)^(3/2)]-√(1-x²)}darccosx
=arccosx{(1/3)[(1-x²)^(3/2)]-√(1-x²)}-∫{(1/3)[(1-x²)^(3/2)]-√(1-x²)}[-1/√(1-x²)]dx
=arccosx{(1/3)[(1-x²)^(3/2)]-√(1-x²)}-(2/3)x-(1/9)x³+c

Answer 2

我用matlab也计算不出来啊，哎不清楚原因了，我的建议是你可以采用分部积分法了，把反余弦函数求导后去掉了然后进行化解，进行解决了啊，我在想一想怎么算比较好了