Question

已知二次函数y=ax²+bx-2的图像过点(1,0),一次函数图像经过原点和点(1,-b),其中a>b>0且a、b为实数。

（1） 求一次函数的表达式（用含b的是自表示）
（2） 试说明：这两个函数交于不同的两点
（3）设（2）中的两个焦点的横坐标分别为X Y 求 | X-Y|的范围
谢100分赠予
1层2层3问都错了 我老师讲了 继续答出来的继续给分

Answer 1

解：（1）∵一次函数图象经过原点
∴该一次函数为正比例函数
设该正比例函数解析式为y=kx
∵一次函数图像经过点(1,-b)
∴-b=k
∴求一次函数的表达式为y=-bx
（2）由题意得
ax²+bx-2=-bx
可化为ax²+2bx-2=0
△=(2b)²-4a·（-2）=4b²+8a
∵a>b>0且a、b为实数
∴4b²+8a＞0
∴这两个函数交于不同的两点
（3）∵（2）中的两个焦点的横坐标分别为X Y
则X+Y=-2b/a XY=-2/a
∴（X-Y）²=（X+Y）²-4XY
∴（X-Y）²=4b/a²+8/a
∴X-Y=±根号（4b²/a²+8/a）
∴| X-Y|=根号（4b²/a²+8/a）＞0
不知道是否错误，纯属个人做题。 希望对你有所帮助 ^.^

Answer 2

解：第一二个问都不是问题。第三问
由（2）得到 方程ax²+2bx-2=0
由韦达定理得：X+Y=-2b/a XY=-2/a
则| X-Y|²=（X+Y）²-4XY
=4b²/a²+8/a
=16/a²-8/a+4
= 4（4/a²-2/a+1）
令2/a=t，由a>b>0,易知 1<t<2,
则| X-Y|²=4（4/a²-2/a+1）=4（t²-t+1）
看成二次函数，且其图象的对称轴t=1\2，开口向上
知函数在1<t<2, 上单增，所以4<| X-Y|²<12 ，即2<| X-Y|<2根号3

Answer 3

（1） 设一次函数为y=kx+c，过原点和点(1,-b),则
0=0+c，-b=k+c；解得 k=-b，c=0；
∴一次函数的表达式为 y=-bx
（2） 二次函数过点(1,0)，则 0=a+b-2 => a=-b+2，∴二次函数为 y=(-b+2)x²+bx-2
将一次函数代入二次函数，得 -bx=(-b+2)x²+bx-2，即(-b+2)x²+2bx-2=0 (1)
判别式△=4b²-8(b-2)=4(b²-2b+4)=4[(b-1)²+3]≥3>0
即联立的方程有两个不同的解，∴这两个函数交于不同的两点
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为X，Y，
对方程(1)用韦达定理，可得 X+Y=2b/(b-2)，XY=2/(b-2)
∴|X-Y|=√[(X+Y)²-4XY]=√[(2b/(b-2))²-4*2/(b-2)]=2/|b-2|*√[(b-1)²+3]
b=2时，二次函数退化为直线，与直线y=-bx最多只有一个交点，|X-Y|无意义
0<b<2时，b->0，|X-Y|->2；b->2，|X-Y|->+∞，∴取值范围为 (2,+∞)
b>2时，b->2，|X-Y|->+∞；b->+∞时，|X-Y|->2，∴取值范围为 (2,+∞)
综上所述，|X-Y|的取值范围为 (2,+∞)

希望对你有帮助

Answer 4

你好，第一，二，问我就不说了。最有争议的时第三问。
其实三楼基本思路是对的。可他a的取值范围判断错，导致t 的范围错误。可谓“一步错，满盘输”
a的范围是：a>1 那么0<2/a<2 则，| X-Y|²=4（4/a²-2/a+1）最小值在对称轴处取得。故：
3<= | X-Y|²<12 那么 | X-Y|属于 [ 根号3 ，2根号3）