Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B1中点,求异面直线AM个BD所成角的余弦

如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B1中点,求异面直线AM个BD所成角的余弦值

Answer 1

解：设正方体的棱长为1。取C1D1的中点N，作出平面ADNM，则AM∥DN，因此，∠NDB即为AM与BD所成的角。取B1C1的中点P，作出平面BDNP，则BD∥NP，由于Rt△DD1N≌Rt△BB1P，所以DN=BP。所以四边形BKNP是等腰梯形。在梯形中，作NE⊥BD，PF⊥BD，则在Rt△NED中，

DD1=1，D1N=1/2，则ND=√5/2.又DE=（BD-EF）/2=（√2-√2/2）/2=√2/4，所以cosNDB=(√2/4)/( √5/2)= √10/10.

Answer 2

作B'C'中点N，BD中点O，连ON
则∠BON就是AM与BD所成角，设为α，连BN
设AB=1
则BO=√2/2，BN=ON=√5/2
cosα=(ON²+BO²-BN²)/(2ON·BO)=BO/(2ON)=√10/10