Question

谁能帮我解一下这个定积分

∫e^(-x^2)dx=?
这是一个反常积分，积分区域为0，+∞
鄙人不胜感激！

Answer 1

I=∫e^(-x^2)dx,平方得：I^2=[∫e^(-x^2)dx][∫e^(-y^2)dy]=∫dx∫e^[-(x^2+y^2)]dy=∫∫e^[-(x^2+y^2)]dxdy,化为极坐标，先在第一象限圆域积分（x^2+y^2<=R^2),然后令R->+∞ I^2=lim π(1-e^(-R^2))/4 ,R->+∞=π/4.
I=∫e^(-x^2)dx=(√π）/2
这就是著名的泊松积分。在高数二重积分，大学物理近代原子物理和概率和数理统计的高斯分布（正态分布）均出现。根据高斯分布还可以给出另外的解法：先将积分式向标准正态分布概率密度公式配凑：
I=（√2π)（1/√2π）*∫e^(-（x^2）/2)d(x/√2)=√π*{(1/√2π）*∫e^(-（x^2）/2)dx},{}内为标准正态分布概率密度公式，它在（0，+∞）积分为1/2；所以I=∫e^(-x^2)dx=(√π）/2

答案仅供参考，具体过程书写不便可能有误，可参阅提到的相关资料。

Answer 2

∫e^(-x^2)dx=∫e^[(-（根号2*x）^2)/2]dx
=（根号2分之一）*∫e^[(-（根号2*x）^2)/2]d（根号2*x）
而∫e^[(-x^2)/2]dx=1 （积分区域为-∞ ，+∞ ）
所以 原式=2分之根号2*1/2
=4分之根号二

Answer 3

更正一下yfng2006的回答：
∫e^[(-x^2)/2]dx=根号下（2π）
因此答案是（√π）/2

Answer 4

这个积分无法用解析法求得，但是有定值（√π）/2
具体方法用夹逼定理和极限求出来的，可以参考高斯方程