Question

如图所示，抛物线y=ax的平方+bx+c与x轴交于A,B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C（0

如图所示，抛物线y=ax的平方+bx+c与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交与（点c (0,-3),抛物线顶点M的坐标为（1，-4）求这条抛物线的解析式(2)P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q，若点P在线段BM上运动（点P不与B，M重合）设OQ的长为t,四边形PQAC的面积为S，求S达到最大时点P的坐标（3)在（2）的条件下，在线段AC上是否存在点N，使直线QN恰好是四边形PQAC面积最大时的面积等分线？若存在，请求出该直线的函数表达式，若不存在请说明理由，（背景介绍，若一条直线恰好与一个多边形的面积分成相等的两部分，则称这条直线为该多边形的面积等分线）

Answer 1

(1)首先根据点C可确定c=-3
因为顶点为M（1，-4），所以抛物线对称轴为x=1，所以-b/2a=1
顶点坐标代入抛物线，a+b-3=-4，解得a=1，b=-2
抛物线方程为y=x^2-2x-3
(2)各已知点的坐标：A(-1,0), B(3,0), C(0,-3), M(1,-4)
直线BM方程为y=2x-6
根据题意1<t<3
P点坐标为(t,2t-6), Q点坐标为(t,0)
将四边形PQAC的面积分为三角形AOC和梯形PQOC的面积之和
OA=1, OC=3, OQ=t, PQ=6-2t
S=1×3/2+1/2×(3+6-2t)×t=-t^2+9t/2+3/2=-(t-9/4)^2+105/16
所以当t=9/4时，S最大
此时P的坐标为(9/4,-3/2)
Smax=105/16
(3)直线AC的方程为y=-3x-3
可设N点坐标为(k,-3k-3) (-1<k<0)
过点N向x轴引垂线，垂足为D
则DN=3k+3
三角形ANQ的面积=1/2×(1+9/4)×(3k+3)=39/8×(k+1)
按照题意39/8×(k+1)=1/2×105/16
k=-17/52∈(-1,0)
所以存在
N点坐标(-17/52,-105/52)
AN的方程为y=105/134×(x-9/4)

Answer 2

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-
b
2a
=-
b
2×1
=1
∴b=-2
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴c=-3，
∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；
（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x2-2x-3=0．
∴x1=-1，x2=3．
∵A点在B点左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则
0=3k+m-3=m
，
∴
k=1m=-3
∴直线BC的函数表达式为y=x-3；

Answer 3

这是2010潍坊的