Question

不定积分得难题

cosx/5+4sinx的平方dx

Answer 1

∫cosxdx/(5+4(sinx)^2)
=∫dsinx/(5+4sinx^2)
=1/(2√5) ∫d(2sinx/√5)/[1+(2sinx/√5)^2]
=[1/(2√5)]arctan(2sinx/√5)+C

追问

写详细点好吗，我数学不是那么好啊 那个勾是指根号吗？ 为什么要配这个啊 d（2sinx/√5) 怎么配的 能说下详细点吗

追答

=√5∫dsinx/√5∫
=1/(2√5) ∫d(2sinx/√5)/[1+(2sinx/√5)^2]
t=2sinx/√5
=(1/2√5)∫dt/(1+t^2)
=(1/2√5)arctant

追问

老师 能写个完整的把 你那里怎么又多了个t啊 我数学不好啊 谢谢啦 那个勾是根号吗？

追答

∫cosxdx/(5+4(sinx)^2)
=∫dsinx/(5+4sinx^2)

=(1/5)∫dsinx/(1+4sinx^2/5)
=(1/√5)∫d(sinx/√5)/(1+(2sinx/√5)^2)

=1/(2√5) ∫d(2sinx/√5)/[1+(2sinx/√5)^2]
公式∫dt/(1+t^2)=arctant 其中t=2sinx/√5
=[1/(2√5)]arctan(2sinx/√5)+C

追问

=(1/5)∫dsinx/(1+4sinx^2/5)
=(1/√5)∫d(sinx/√5)/(1+(2sinx/√5)^2 这一步 我就开始糊涂啦 还有 为什么要配成(1+4sinx^2/5)
你做这道题用的是什么方法啊？ 谢谢

追答

看分母，(arctant)'=1/(1+t^2)
1+t^2
=(1/5)∫dsinx/(1+4sinx^2/5) (1/5)∫dsinx=(1/√5)d(sinx/√5) 4sinx^2/5= (2sinx/√5)^2
(1/√5)∫dsinx/√5=(1/2√5)∫d(2sinx/√5)
=(1/√5)∫d(sinx/√5)/(1+(2sinx/√5)^2