Question

已知等边三角形ABC,P为三角形ABC外任一点,自点P向三边作垂线PD,PE,PF,点D,E,F为垂足求证PD+PE+PF。

2）若点P在△ABC外时，情况如何？

Answer 1

1.连接PA,PB,PC
则△ABC被分为3个小三角形，△PAB，△PBC，△PCA
△ABC的面积=△PAB的面积+△PBC的面积+△PCA的面积
设△ABC的边长为a,则任意一边上的高h是确定的（h=√3a/2）
所以 a*h/2=*a*PD/2+a*PE/2+a*PF/2
所以 PD+PE+PF=h，是一个不变的值，等于边长的√3/2
2.连接PA,PB,PC,

可知
三角形PBC面积=PF*BC*0.5
三角形PBA面积=PD*BA*0.5
三角形PAC面积=PE*AC*0.5

S三角形PBC+S三角形PBA-S三角形PAC=S等边三角形
PF*BC*0.5+PD*BA*0.5-PE*AC*0.5=S等边三角形
(PF+PD-PE)*边长*0.5=S等边三角形=√3/4*边长

所以PF+PD-PE=√3/2也是定值
首先要将图画好

Answer 2

证明：
1）连接PA,PB,PC
则△ABC被分为3个小三角形，△PAB，△PBC，△PCA
S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PCA
设△ABC的边长为a,则任意一边上的高h是确定的（h=√3a/2）
所以 a*h/2=*a*PD/2+a*PE/2+a*PF/2
所以 PD+PE+PF=h，是一个不变的值，等于边长的√3/2
2）连接PA,PB,PC,
S△PBC=PF*BC*0.5
S△PBA=PD*BA*0.5
S△PAC=PE*AC*0.5
S△PBC+S△PBA-S△PAC=S等边△
PF*BC*0.5+PD*BA*0.5-PE*AC*0.5=S等边△
(PF+PD-PE)*边长*0.5=S等边三角形=√3/4*边长
所以PF+PD-PE=√3/2也是定值