Question

已知椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3,过右焦点F的直线l与C相交于A.B两点,当斜率为1时,坐标

已知椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3,过右焦点F的直线l与C相交于A.B两点,当斜率为1时,坐标原点O到直线的距离为根号2/2.
(1)求a,b值

Answer 1

离心率为√3/3=c/a
直线的方程为y=(x-c)
圆心到其距离为
|c|/√(1+1)=√2/2
c=1,a=√3,b=√2

追问

直线的方程是怎么求的？

追答

直线l与C相交于A.B两点,当斜率为1时，说明k=1，又过右焦点(c,0)
所以直线的方程为y=(x-c)

Answer 2

解:
∵离心率e=c/a=(√3)/3=1/√3
∴可设a=(√3)t, c=t (t＞0)
结合a²=b²+c²可得b=(√2)t.
∴此时右焦点F2(t, 0)
且直线L: y=x-t
即x-y-t=0
由题设,原点到直线的距离为√2/2
∴t/(√2)=√2/2
∴t=1
∴a=(√3)t=√3
b=(√2)t=√2
c=t=1