Question

高三数学题 关于数列

已知数列{an}中，a1=1,an+1 an-1=an an-1+an^2(n属于N,n大于等于2)，且an+1/an=k*n+1
1 求证k=1
2 求数列{an}的通项公式
3设g(x)=anx^n-1/(n-1)!,f(x)是数列{g(x)}的前n项和，求f(x)的解析式

各位，小女子数学真不是一般的薄弱 尽量说详细啊
（an）^2

Answer 1

1.将an+1 an-1=an an-1+an^2的左右两边都除以an^2，得到：（an+1/an）（ an-1/an）=（an-1/an）+1，而an+1/an=k*n+1，所以an/an-1=1/[k（n-1）+1]
将上面两个式子代入（an+1/an）（ an-1/an）=（an-1/an）+1得（k*n+1）{1/[k（n-1）+1]}=1/[k（n-1）+1]+1，然后这个式子左右两边在同乘以k（n-1）+1，得到：k*n+1=1+k（n-1）+1，解得：k=1
2.将k=1代入an+1/an=k*n+1得到an+1/an=n+1，所以an+1=an*（n+1)，an=an-1*n……，而a1=1，连续迭代后an=n！
3.楼主，我想你以后打题目打好些，可能楼上好几位都和我一样的把题目理解为了g(x)=（anx^n）-1/(n-1)!，这个题目做得我流汗。。。。。。。。看了四楼的解法后我才恍然大悟，原来题目是g(x)={an*（x^n-1）}/(n-1)!，楼上几位应该深有感触吧。。。。。。。。
正确的解法就是g（x）={an*（x^n-1）}/(n-1)!={n!*x^(n-1）}/(n-1)!=n*x^(n-1),然后用错位相减法：f(x)=1*x^0+2*x^1+3*x^2………+nx^n-1；
xf(x)= 1*x^1+2*x^2+…… +(n-1)x^n-1+nx^n
两式相减：（1-x)f(x)=1+（2-1）x^1+(3-2)x^2……+[n-(n-1)]x^n-1-nx^n
所以：（1-x)f(x)=1+x^1+x^2……+x^n-1-nx^n
即：（1-x)f(x)=(1-x^n)/(1-x)-nx^n
故：f(x)=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x)

追问

原谅我问一个很愚蠢的问题啊，就是这个1+x^1+x^2……+x^n-1=(1-x^n)/(1-x)
我看不出来·····

追答

额，1+x^1+x^2……+x^n-1就是一个等比数列的求和啊，
这样了令Sn=1+x^1+x^2……+x^n-1
同样的再用x乘以等式两边得到x*Sn=x+x^2+x^2……+x^n-1+x^n
再把这两个式子相减：Sn=1+x^1+x^2+x^2……+x^n-1
x*Sn= x^1+x^2+x^2……+x^n-1+x^n
错位相减以后就是(1-x)Sn=1-x^n,所以x≠1时候有：Sn=(1-x^n)/(1-x)

这就是等比数列求和公式的来源
设 等比数列an=a1*q^(n-1),则其n和设为Sn，有
Sn=a1+a1*q+a1*q^2+...+a1*q^n-1(公比为q)
q*Sn= a1*q+a1*q^2+...+a1*q^n-1+a1*q^n
Sn-q*Sn=a1- a1*q^n
(1-q)Sn=a1-a1*q^n
Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

还有什么不明白再hi我吧。

Answer 2

1,a(n+1)*a(n-1)=an*a(n-1)+an^2，等式两边同除an*a(n-1)得：a(n+1)/an=an/a(n-1)+1
所以，a4/a3、a3/a2、a2/a1为公差是1的等差数列。a3/a2-a2/a1=1
a(n+1)/an=kn+1 a2/a1=k+1 a3/a2=2k+1 (2k+1)-(k+1)=1 k=1
2,a(n+1)/an=n+1
n>=2时，an/a(n-1)=n，a(n-1)/a(n-2)=(n-1)，…，a3/a2=3，a2/a1=2
以上各式两端相乘：an/a1=an=n!，即通项公式为：an=n!
3,这部分自己能做了吧

Answer 3

a1=1; 另外an+1/an=k*n+1，可以得出an非零
an+1 an-1=an an-1+an^2 （n>=2）
两边同时除以an^2，有
(an+1/an) * (an-1/an) = (an-1/an) + 1;
an+1/an=k*n+1，an-1/an=1/(an/an-1)=1/[k*(n-1)+1] 代入：
（k*n+1）/ [k*(n-1)+1] = 1 / [k*(n-1)+1] + 1;
去掉分母有（k*n+1） = 1 + k*(n-1)+1 = k*n+2-k对所有n>=2恒成立，故有2-k=1，于是k=1
an+1/an = n+1, a1=1, a2=2, a3=6, a4=24, a5=120, 猜想有an=n!, 数学归纳法证明之（略）

追问

我知道第一问不算难
关键是后面那两题

追答

归纳法 这个应该没问题吧
(1)k=1 命题成立
(2)假设n=k成立，ak=k!, 由an+1/an=n+1得到ak+1=ak*(k+1) = （k+1）！，n=k+1也成立
由(1)(2)有an=n!命题成立

第三个 g(x)=n*x^(n-1)
f(x)= 1+2*x+3*x^2+...+ n*x^(n-1)
x*f(x) = x+2*x^2+...+(n-1)*x^(n-1)+n*x^n
相减 然后等比数列和

Answer 4

1:证：a(n+1)*a(n-1)=an*a(n-1)+(an)^2 两边同除an*a(n-1)得
a(n+1)/an=1+an/a(n-1)
a(n+1)/an-an/a(n-1)=1
即{a(n+1)/an}为公差d=1的等差数列
有
a3/a2-a2/a1=1 (1)
a4/a3-a3/a2=1 (2)
a5/a4-a4/a3=1 (3)
.....
a(n+1)/an-an/a(n-1)=1 (n-1)
以上n-1个式子相加，得a(n+1)/an-a2/a1=n-1
由a1=1，a2=2（此条件是否遗漏啊）
所以a(n+1)/an-2=n-1
a(n+1)/an=n+1
所以k=1
2）由问题1）得
a2/a1=2 (1)
a3/a2=3 (2)
a4/a3=4 (3)
....
an/a(n-1)=n (n-1)
以上n-1个式子左右连乘，得
an/a1=2*3*4*...*n
a1=1
所以an=n!
3）g(x)=an*x^(n-1)/(n-1)! =nx^(n-1) (原题中表达式是否有问题）
g(x)1=1 (1)
g(x)2=2x (2)
g(x)3=3x^2 (3)
....
g(x)(n)=nx^(n-1) (n)
以上n个等式相加得
f(x)=1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)

Answer 5

等式两边同时除以an*a(n-1);
得：an+1/an=1+an/an-1;
又a1=1;且an+1/an=k*n+1
a2=k+1;
an+1/an=nk+1=n-1+a2=n+k;
所以：k=1；
an+1/an=n+1;
an/an-1=n
…………
a2/a1=2;
累乘可得：an=n!;
3>有结论二可得
g(x)=nx^n-1
f(x)=1*x^0+2*x^1…………+nx^n-1；
xf(x)=1*x+2*x^2+…………+nx^n;
两式相减：
（1-x)f(x)=(1-x^n)/(1-x)-nx^n;
所以：f(x)=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x);

Answer 6

分析：（1）根据韦达定理可知α+β= 2an+1an，αβ= 1an，代入（α-1）（β-1）=2中整理得an- 13=-2（an+1- 13），进而可判定数列 {an-13}是等比数列．
（2）由（1）可求得数列 {an-13}的首项和公比，可求得数列 {an-13}的通项公式，进而求得an．
解答：解：（1）证明：依题意可知α+β= 2an+1an，αβ= 1an
∴（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1= 1an- 2an+1an+1=2
整理得an- 13=-2（an+1- 13），a1- 13= 83
∴数列 {an-13}是以 83为首项，- 12为公比的等比数列．
（2）由（1）知an- 13= 83×（- 12）n-1，
∴an= 83×（- 12）n-1+ 13．
点评：本题主要考查了等比数列的性质和等比关系的确定．考查了学生对等比数列的定义和通项公式的理解和把握．

追问

瞎凑什么热闹呢