Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点。

求DB与平面DEF所成角的正弦值。

Answer 1

设底面正方形边长为1，

DE=√5/2，△PDB是RT△，

BD=√2，

PD=1，

PB=√3，

DF=PB/2=√3/2，

PA=√2，

EF=PA/2=√2/2，

根据勾股定理，DF^2+EF^2=DE^2,

△DEF是RT△，

S△DEF=DF*EF/2=√6/8，

设N至平面DEF距离为d,

VF-BDE=S△DEF*d/3=√6d/24,

S△DBE=S正方形ABCD/4=1/4，

取BD中点O，连结FO，则OF是△PBD中位线，

OF//DP，OF=DP/2=1/2，

∵PD⊥平面ABCD，

∴OF⊥平面BDE，

OF是三棱锥F-BED有高，

VF-BED=S△BED*OF/3=（1/4）*（1/2）/3=1/24，

VF-BED=VB-DEF，

√6d/24=1/24，

d=√6/6，

设BD和平面DEF所成角为θ，

sinθ=d/BD=（√6/6）/√2=√3/6，

∴DB与平面DEF所成角的正弦值为√3/6。