Question

若:A为实对称矩阵 证明:A的秩等于A平方的秩

Answer 1

设Ax=0
左乘A^T （就是A的转置） 得到 (A^T) A x=0
就是说 Ax=0 的解 一定是 (A^T) A x=0 的解
同理 对方程 (A^T) A x=0
左乘 x^T 得到 (Ax)^T （Ax）=0
因为Ax 是个列向量， (Ax)^T（ Ax）是一个数 就是它的内积，等于零
则有Ax=0, 说明(A^T) A x=0 的解 也一定是 Ax=0 的解
综上，Ax=0 和 (A^T) A x=0 同解
于是他们秩相等。 又因为 A=A^T
所以A的秩等于 A平方的秩

追问

啊 应该算是看懂了 就是为啥Ax是个列向量啊

追答

A 是 方阵 x 是列向量
Ax是和x一样类型的列向量

追问

设Ax=0
左乘A^T （就是A的转置） 得到 (A^T) A x=0
就是说 Ax=0 的解 一定是 (A^T) A x=0 的解

照这样说那左乘任意一个矩阵B
Ax=0与 BAx=0 都同解？

还有
因为Ax 是个列向量， (Ax)^T（ Ax）是一个数 就是它的内积，等于零
则有Ax=0
这是为什么？