Question

高二数学解答题，一定要有过程！

已知直线x＋ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8。
1，求椭圆C的标准方程
2，已知圆O：x平方＋y平方＝1，直线l：mx＋ny＝1。试证明：当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围。

Answer 1

1、直线x+ky-3=0，经过定点，则该点与k无关，所以k的系数y=0，y=0时，可得x=3；
所以，定点坐标即焦点F的坐标为(3,0)；c=3，在x轴上；
设C：x²/a²+y²/b²=1；C上的点到焦点F的最远距离为a+c=a+3=8，所以a=5，
则b²=a²-c²=16，
所以，椭圆C的标准方程为：x²/25+y²/16=1；
2、圆心(0,0)，半径r=1，
圆心到直线l：mx＋ny＝1的距离d=1/√(m²+n²)
因为点(m,n)在椭圆C：x²/25+y²/16=1上，
所以：m²/25+n²/16=1；即：m²+25n²/16=25；则：m²+n²=25-9n²/16
因为点(m,n)在椭圆C：x²/25+y²/16=1上，
所以：-4≦n≦4；所以：m²+n²=25-9n²/16∈[16,25]；
所以：√(m²+n²)∈[4,5]；
所以，圆心到直线l：mx＋ny＝1的距离d=1/√(m²+n²)∈[1/5,1/4]；
d<1，即d<r；
所以，当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交。

过圆心作出直线的垂径，垂径d，半径r，半弦长L/2，构成了直接三角形；
所以：L²/4=r²-d²=1-d²，则L²=4(1-d²)
因为d=1/√(m²+n²)∈[1/5,1/4]；
所以d²∈[1/25,1/16]；
所以：L²=4(1-d²)∈[15/4,96/25]
可得：L∈[(√15)/2，4(√6)/5]

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

1，线x＋ky－3＝0，y=0，则x=3，所以c=3，a+c=8，a=5，b=4
椭圆标准方程为：x^2/25+y^2/16=1
2，m^2+n^2>m^2/25+n^2/16=1。
圆心(0,0)到直结mx+ny=1的距离为1/√(m^2+n^2)<1/√(m^2/25+n^2/16)=1
所以直线l与圆O恒相交。
因为点(m,n)在椭圆x^2/25+y^2/16=1上，所以点(m,n)到原点的距离最小是4，最大是5。
16<=m^2+n^2<=25。所以圆心(0,0)到直结mx+ny=1的距离1/5<=1/√(m^2+n^2)<=1/4。
用勾股定理可知，弦长一半的平方：15/16<=1-1/(m^2+n^2)<=24/25。
√15/4<=弦长一半<=2√6/5。
直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围是：[√15/2,4√6/5]

Answer 3

1）显然直线过定点（3，0），所以 c=3，a+c=8，
则 a=5，a^2=25，b^2=a^2-c^2=16，
所以，椭圆C的标准方程为 x^2/25+y^2/16=1 。

2）因为P（m，n）在椭圆C上，所以 设 m=5cosθ，n=4sinθ，
则圆心（0，0）到直线 mx+ny=1 的距离
d=1/√(m^2+n^2)=1/√[25(cosθ)^2+16(sinθ)^2]
=1/√[16+9(cosθ)^2]
因为 0<=(cosθ)^2<=1，
所以 1/5<=d<=1/4
由于 d 恒小于圆的半径1 ，因此，直线与圆恒相交。
由于 L=2√(r^2-d^2)=2√(1-d^2)，
因此，由 1/5<=d<=1/4 得
2√(15/16)<=L<=2√(24/25)，
即 √15/2<=L<=4√6/5。

Answer 4

1,首先定点坐标是（3,0），也就是说c=3，最大距离a+c=8，所以a=5，方程为x^2/25+y^2/16=1
2圆心到l的距离d=1/根号下（m^2+n^2）,这里因为p在椭圆上运动，可以考虑用参数法，设p（5cosA，4sinA），这样m^2+n^2=16+9(cosA)^2∈【16,25】，所以d∈【1/5,1/4】
因为d小于1，所以恒相交。利用垂径定理可以知道弦长l的
取值范围为【根号下（15）/2,4根号6/5】。