Question

（sinx）^2-（cosx）^2/（sinx）^4+（cosx）^4的积分

（sinx）^2-（cosx）^2/（sinx）^4+（cosx）^4的积分

Answer 1

∫ [(sinx）^2-（cosx）^2] /[（sinx）^4+（cosx）^4 ]dx 是这样吧 上下同除（cosx）^4
= ∫ -cos2x / [1+(cos2x)^2] dx 三角函数变形 降次 （sinx)^2=(1-cos2x)/2, (cosx)^2=(1+cos2x)/2,
= -1/2* ∫ 1 / [2-(sin2x)^2] d sin2x
= -√2/8* ∫ 1 / [√2-sin2x] +1 / [√2+sin2x] d sin2x
= -√2/8*{ ∫ 1 / [√2-sin2x] d sin2x +∫1 / [√2+sin2x] d sin2x }
= -√2/8*{ ln|√2-sin2x| +ln|√2+sin2x | +c}

Answer 2

[(sinx)^2-(cosx)^2]/[sinx^4+cosx^4]
=-cos2x/[(sinx^2+cosx^2)^2-2sinx^2cosx^2]
=-cos2x/1-(sin2x)^2/2

∫[(sinx)^2-(cosx)^2]dx/[sinx^4+cosx^4]
=∫-cos2xdx/[1-(sin2x)^2/2]
=-∫dsin2x/(2-(sin2x)^2)
=[-1/(2√2)]∫(√2+sin2x+√2-sin2x)dsin2x/[2-(sin2x)^2]
=(-1/2√2)ln|(√2+sin2x)/(√2-sin2x)|+C