Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过

我要解析，分析一下第三题，不用求过程。
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H． （1）直接填写：a= b= 顶点C的坐标为 ？ （2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由。（3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合）.PQ⊥AC与点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标。

Answer 1

考点：二次函数综合题。
分析：（1）将A（﹣3，0）、B（1，0），代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；
（2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
（3）首先求出直线CM的解析式为y=k1x+b1，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．
解答：解：（1）a=﹣1，b=﹣2，顶点C的坐标为（﹣1，4）；

（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．
由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA，∴．
设D（0，c），则．变形得c2﹣4c+3=0，解之得c1=3，c2=1．
综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），
使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．

（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．
延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM2=CM2．
设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，∴m=2，即M（2，0）．
设直线CM的解析式为y=k1x+b1，
则，解之得，．
∴直线CM的解析式．
联立，解之得或（舍去）．
∴．
②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．
由△CFA∽△CAH得，
由△FNA∽△AHC得．
∴AN=2，FN=1，点F坐标为（﹣5，1）．
设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，
解之得．
∴直线CF的解析式．
联立，解之得或（舍去）．
∴．
∴满足条件的点P坐标为或．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．

Answer 2

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a= b= 顶点C的坐标为 ？
因为抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的两个交点为A、B
则，y=a(x+3)*(x-1)=ax^2+2ax-3a
已知y=ax^2+bx+3
所以：-3a=3，b=2a
所以：a=-1，b=-2

即，y=-x^2-2x+3
=-(x^2+2x+1)+4
=-(x+1)^2+4
所以，顶点C(-1,4)

（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
假设y轴上存在点D(0,m)使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形
由前面知，点A(-3,0)，C(-1,4)
所以：
AC^2=(-3+1)^2+(0-4)^2=20
AD^2=(-3-0)^2+(0-m)^2=m^2+9
CD^2=(-1-0)^2+(4-m)^2=m^2-8m+17
已知△ACD是以AC为斜边的直角三角形，所以由勾股定理有：
AC^2=AD^2+CD^2
===> 20=m^2+9+m^2-8m+17
===> 2m^2-8m+6=0
===> m^2-4m+3=0
===> (m-1)*(m-3)=0
===> m1=1，m2=3
所以，满足条件的点D有两个D(0,1)，或者D(0,3)

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

Answer 3

(1)a=-1 b=-2 C(-1,4)
(2)存在，是(0,1)和(0,3)
(3)三角形ACH的三条边分别为2,4和2根5,设点P的坐标为（m,n）（m<0,n>0），则n=-m^2-2m+3，
斜边PC边的长可求，为根号(m+1)^2+(n-4)^2,，直线AC的方程可以求得，为2x-y+6=0，所以直角边PQ可由点P到直线AC的距离求得，为|2m-n-6|/(根号5),由对应边成比例，可得m、n的方程，与前面方程n=-m^2-2m+3联立，可以求出m、n的值。

Answer 4

考点：二次函数综合题。
分析：（1）将A（﹣3，0）、B（1，0），代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；
（2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
（3）首先求出直线CM的解析式为y=k1x+b1，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．
解答：解：（1）a=﹣1，b=﹣2，顶点C的坐标为（﹣1，4）；

（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．
由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA，∴．
设D（0，c），则．变形得c2﹣4c+3=0，解之得c1=3，c2=1．
综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），
使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．
延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM2=CM2．
设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，∴m=2，即M（2，0）．
设直线CM的解析式为y=k1x+b1，
则，解之得，．
∴直线CM的解析式．
联立，解之得或（舍去）．
∴．
②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．
由△CFA∽△CAH得，
由△FNA∽△AHC得．
∴AN=2，FN=1，点F坐标为（﹣5，1）．
设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，
解之得．
∴直线CF的解析式．
联立，解之得或（舍去）．
∴．
∴满足条件的点P坐标为或．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．

Answer 5

(1)a=-1 b=-2 C(-1,4)
(2)存在，是(0,1)和(0,3)
(3)三角形ACH的三条边分别为2,4和2根5,设点P的坐标为（m,n）（m<0,n>0），则n=-m^2-2m+3，
斜边PC边的长可求，为根号(m+1)^2+(n-4)^2,，直线AC的方程可以求得，为2x-y+6=0，所以直角边PQ可由点P到直线AC的距离求得，为|2m-n-6|/(根号5),由对应边成比例，可得m、n的方程，与前面方程n=-m^2-2m+3联立，可以求出m、n的值。