Question

高二数学求解

已知向量A和C不共线，向量B不等于0，且（A.B）.C=（B.C）.A，d=A+C，则〈d，B〉等于多少 第二道 设｜M｜等于1，｜N｜等于2，2M+N与M-3N垂直，A等于4M-N，B等于7M+2N，则〈A，B〉等于多少 第三道， 利用向量方法证明，若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的射影，则这两天直线垂直，只有第三道求过程，谢谢了

Answer 1

分析：A，C不同线，但（A.B）.C=（B.C）.A说明前面的数量积都等于0
第一道
解：由题意得
A.B=B.C=0，因为d=A+C
d.B=(A+C).B=A.B+B.C=0
即〈d，B〉=90°
第二道
解:2M+N与M-3N垂直，由题意
(2M+N)(M-3N)=0,整理得
2M^2-5MN-3N^2=2-5MN-12=0
MN=-2，即｜M｜×｜N｜×cos〈M，N〉=2×1×cos〈M，N〉=-2
即cos〈M，N〉=-1。M，N反向！且N=-2M
A=4M-N=6M，B=7M+2N=3M，故〈A，B〉=0（共线)
第三道
分析：理解投影原理，设平面外直线为直线AB，令向量AB起点拖到平面上，过点B作BC垂直平面于点C，即AC为其投影。
解：设平面外直线为AB，平面内的那条直线为L，由题意
把向量AB起点拖到平面上，过点B作BC垂直平面于点C，即AC为其投影。
有向量AB=向量AC+向量CB
则向量AB×向量L=（向量AC+向量CB）×向量L=向量AC×向量L+向量CB×向量L
∵CB垂直平面，L在平面内，故CB⊥L，又AC⊥L（已知）
故向量AB×向量L=向量AC×向量L+向量CB×向量L=0
即直线AB⊥直线L