Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(-x)=-f(x),当x∈(0,1)时f(x)=2∧x/4∧x+1

（1）求f（x）在(-1,1)上的解析式
（2）判断函数在（0,1）上的单调性并证明
（3）当u取何值时，方程f(x)=u在（-1,1）上有解

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Answer 1

(1)f(-x)=-f(x),f(0)=0
当x∈(0,1)时f(x)=2∧x/(4∧x+1)
当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1)
f(x)=-f(-x)=-2^(-x)/(4^(-x)+1)=-2^x/(4^x+1)
(2)任取1>x1>x2>0 2^x1-2^x2>0 1-2^(x1+x2)<0
f(x1)-f(x2)=2^x1/(4^x1+1)-2^x2/(4^x2+1)=(2^x1*4^x2+2^x1-2^x2*4^x1-2^x2)/(4^x1+1)(4^x2+1)
=(2^x1-2^x2)(1-2^(x1+x2))/(4^x1+1)(4^x2+1)
<0
f(x)在区间（0，1）上递减，由奇函数定义知在区间（-1，0）上递减，
（3）u=0时显然有解，解为x=0
0<x<1时，f(x)=u,令t=2^x>0
2^x/(4^x+1)=u>0
t/(t^2+1)=u
ut^2+u=t
ut^2-t+u=0
关于t的方程有实根，判别式大于等于零，即：
1-u^2>=0
又因为u>0
所以有：0<u<1

-1<x<0时，同理可得：-1<u<0

Answer 2

(1)奇函数，f(0)=0
若-1<x<0，则0<-x<1 f(x)=-f(-x)=-2^(-x)/[4^(-x)+1]=-2^x/(4^x+1)
f(x)={-2^x/(4^x+1)(-1<x<0)，0(x=0)，2^x/(4^x+1)(0<x<1)}
(2)设t=2^x，0<x<1 1<t<2
f(x)=g(t)=t/(t^2+1)=1/(t+1/t)
t+1/t在(1,2)增，1/(t+1/t)在(1,2)上减，即f(x)在(0,1)上单调递减。
(3)在(0,1)上，2/5<f(x)<1/2。由f(x)是奇函数可知，值域是(-1/2,-2/5)U{0}U(2/5,1/2)
所以，当-1/2<u<-2/5或u=0或2/5<u<1/2时，方程f(x)=u在(-1,1)上有解。

Answer 3

1) 因为f(x+2)=f(x),且f(-x)=-f(x)
所以f(x)的周期T=2，且f(x)为奇函数，即f(0)=0
所以当-x∈(0,1)时f(-x)=2∧(-x)/4∧(-x)+1
即当x∈(-1,0),f(-x)=4∧x/2∧x+1,而由于f(-x)=-f(x)
所以f(x)=-(4∧x/2∧x+1)
即f（x）在(-1,1)上的解析式为：当x∈(-1,0),f(x)=-(4∧x/2∧x+1)
x=0，f(0)=0
当x∈(0,1)，f(x)=2∧x/4∧x+1
2）f‘(x)=-ln2/2^x 因为x∈(0,1),而ln2<0,2^x>0
所以f'(x)>0
所以函数在（0,1）上为增函数
3）分段结合图像求解就行

Answer 4

不会。

Answer 5

要有图