Question

如图,已知三角形ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠CBA，且交AC于点D，AC=1，求AD的长.

Answer 1

BC=√3AC/3=√3/3，AB=2BC=2√3/3，
根据角平分线定理，AB/BC=AD/CD，（三角形一个角的平分线把对边分成两部分，这两部分之比等于其夹角边的比），
2/1=AD/CD，
（2+1）/1=（AD+CD）/CD，（合比），
3=AC/CD，
CD=AC/3=1/3，
∴AD=AC-CD=1-1/3=2/3。

30度所对边是60°所对边的√3/3，AC=1，BC=1/√3，
〈ABD=〈DBC，
〈ABC=60°，
〈DAB=〈DBA=30°，
AD=BD，
设AD=x,
根据勾股定理，
CD^2+BC^2=BD^2,
(1-x)^2+(1/√3）^2=x^2,
x=2/3,
∴AD=2/3。

追问

在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE垂直平分AB，点E为垂足。求证：（1）∠B=30°（2）BD=2CD

追答

<C=90°，
<CAD=<DAB,
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴〈DBA=〈DAB=〈DAC，
而 ∵〈B+〈CAB=90°，
∴〈DBA+〈DAB+〈CAD=90°，
∴3〈B=90°，
∴〈B=30°。
∵〈CAD=〈B=30°，
∴CD=AD/2，（RT△30°所对边是斜边的一半），
∵BD=AD，
∴CD=BD/2，
∴BD=2CD。