Question

解出基础解系不是要解线性方程么？然后这个矩阵拥有n-1个未知数，却只有一个方程，为什么能够解答，而且答

还请问，
（1）为什么只有主对角线是1的情况下，基础解系是a＝(1,1,...,1)^T?
（2）为什么很多教科书中题目只证明了Ax=0的情况，和Ax=b的情况有什么不同（我找不到Ax=b的情况）？
（3）基础解系是表示无穷多个解的情况，但是为什么和解矩阵的特征向量很类似？
（4）我的原问和得出上三角的矩阵，解基础解系的方法或者结果会有不同吗？我发现解上三角矩阵的基础解系就好像解方程一样，用的是高斯消元法，为什么（我主要就是搞不懂上三角矩阵和第一行全为1的解答为什么不一样，谢谢）？

不好意思，问题有些多，麻烦各位数学大神帮我解答吧，这样我应该就会明白的啦，我在看十二五规划的线性代数的教科书，对比其他的版本，我发现每个版本的表达都有不一致的地方，国内的教材很混乱啊～有的还有错误，我很混乱，求解答。
问题输入错误……题目是这样子的
解出基础解系不是要解线性方程么？然后这个矩阵拥有n-1个未知数，却只有一个方程，为什么能够解答，而且答案说基础解析是
a1=(-1,1...)T,a2=(-1,0,1...)T,......an-1=(-1,...,1)T
我无法理解，是不是我有些地方没理解透？求指教~~谢谢

谢谢二位这么耐心讲解，我再结合书本和您们所讲的先看看吧，可能基础概念和定义我没搞清楚吧~~

Answer 1

问题就没有表述清楚。什么叫作主对角线元素都是1？矩阵的第一行是111....1，其余是0吧？方程组的唯一的那个方程是x1+x2+x3+...+xn=0，矩阵A的秩r=1，未知量个数是n，所以基础解系中的向量个数是n-r=n-1个。
方程组的同解方程组是x1=-x2-x3-...-xn，自由未知量是x2,x3,...,xn，对自由未知量取值：x2=1,x3=...=xn=0，得解a1=(-1,1,0,...,0)
x2=0,x3=1,x4=...=xn=0，得解a2=(-1,0,1,,...,0)
.......
x2=x3=...=x(n-1)=0,xn=1，得解a(n-1)=(-1,0,0,...,1)
所以，基础解系是a1,a2,...,a(n-1)
－－－－－－－－－－－－－－－－－
基础解系这个概念是对齐次方程组Ax=0定义的，根据非齐次方程组Ax=b的通解的结构，还是会用到Ax=0的基础解系，且非齐次方程组的解的线性组合不再是非齐次方程组的解，无法定义基础解系这个概念。
从特征向量的角度来说，Ax=0的非零解就是A的对应于特征值0的特征向量。
基础解系有无穷多种表示，只要一个向量组满足基础解系的要求就可以作为基础解系

追问

主对角线意思是像单位矩阵一样的情况，标准型也一样，我就不懂这个矩阵和第一行都是1的矩阵有什么不同，有劳您啦

追答

主对角线是1，其他元素都是0？这样的方程组Ax=0的基础解系是a＝(1,1,...,1)^T？这可能吗？一直没有搞明白你所说的是一个什么样的矩阵，看起来好像是单位矩阵了，不过单位矩阵对应的方程组有这样一个基础解系？

追问

明白了，如果是4阶的矩阵的秩为2的时候，基础解系就有分别假设X1和X2等于单位1，然后用来表示X3和X4，然后相加。
如果是5阶的矩阵的秩为3的时候，基础解系就有分别假设X1、X2和X3等于单位1，然后用来表示X4和X5，然后相加。而特解就是其中一个可能性的实数组合。而解线性方程的题目因为往往r（A）=r(A,B)=n,所以只有一个解，当线性方程有无穷多个解是，方程的解就是基础解系。对吗？谢谢

追答

你的理解没错。基本方法实际上不难，熟能生巧而已