Question

如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6米,BC=8米,动点P以2米/秒的速度从A点出发,沿AC向点C

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；
②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；
（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值．

Answer 1

解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米
由题意得：AP=2t，则CQ=1，则PC=10-2t
（1）
①过点P，作PD⊥BC于D，
∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米
∴PD= 12AB=3米，∴S= 12•QC•PD=3.75平方米；
②过点Q，作QE⊥PC于点E，
易知Rt△QEC∽Rt△ABC，∴ QEQC=ABAC•QE=3t5
∴S= 12•PC•QE= 12•（10-2t）• 3t5=- 35t2+3t（0＜t＜5）
（2）当t= 103秒（此时PC=QC）， 259秒（此时PC=QC），或 8021秒（此时PC=QC）时，△CPQ为等腰三角形；

（3）过点P作PF⊥BC于点F．
则△PCF∽□ACB
∴ PFAB= PCAC= FCBC，即 PF6= 10-2t10= FC8
∴PF=6- 6t5，FC=8- 8t5
则在直角△PFQ中，PQ2=PF2+FQ2=（6- 6t5）2+（8- 8t5-t）2= 415t2-56t+100
当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时PQ2= 415t2-56t+100=9t2
整理得：t2+70t-125=0
解得：t1=15 6-35，t2=-16 6-35＜0（舍去）
故，当⊙P与⊙Q外切时，t=（16 6-35）秒；
当⊙P与⊙Q内切时，PQ=PA-QC=t，此时，PQ2= 415t2-56t+100=t 2
整理得：9t2-70t+125=0，解得：t 1= 259，t 2=5
故当⊙P与⊙Q外切时，t= 259秒或5秒．

Answer 2

1:3.75 S=-0.6t2+3t
2:10分之3 80分之21 25分之9