Question

设数列{bn}的前项和为sn，且bn=2-2sn：数列{an}为等差数列，且a5=14.a7=20。

1）求数列{bn}的通项公式；(2)若cn=an*bn n=1,2,3.....,Tn为数列{cn}的前项和，求Tn 谢谢各位高手 急详细些

Answer 1

（1）
b1=2-2S1=2-2b1
所以b1=2/3
bn=2-2Sn，即Sn=1-(1/2)bn
对于n>=2而言，有bn=Sn-S(n-1)=[1-(1/2)bn]-[1-(1/2)b(n-1)]=-(1/2)bn+(1/2)b(n-1)
所以(3/2)bn=(1/2)b(n-1)
所以bn=(1/3)b(n-1)
所以{bn}的通项公式为bn=2*(1/3)^n
（2）
{an}为等差数列，且a5=14，a7=20
公差d=(a7-a5)/2=3
{an}的通项公式为an=3n-1
所以cn=an*bn=(3n-1)*2*(1/3)^n=(6n-2)*(1/3)^n
Tn=c1+c2+c3+...+c(n-1)+cn
=(-2)*1/3+4*(1/3)^2+10*(1/3)^3+...+(6n-8)*(1/3)^(n-1)+(6n-2)*(1/3)^n
3Tn=(-2)+4*1/3+10*(1/3)^2+...+(6n-8)*(1/3)^(n-2)+(6n-2)*(1/3)^(n-1)
2Tn=3Tn-Tn
=(-2)+6*1/3+6*(1/3)^2+...+6*(1/3)^(n-1)-(6n-2)*(1/3)^n
=(-2)+6*[1/3+(1/3)^2+...+(1/3)^(n-1)]-(6n-2)*(1/3)^n
=(-2)+6*1/3*[1+1/3+...+(1/3)^(n-2)]-(6n-2)*(1/3)^n
=-2+2*[1-(1/3)^(n-1)]/(1-1/3)-(6n-2)*(1/3)^n
=-2+3-(1/3)^(n-2)-(6n-2)*(1/3)^n
=1-9*(1/3)^n-(6n-2)*(1/3)^n
=1-(6n+7)*(1/3)^n
所以Tn=1/2-(6n+7)/2*(1/3)^n

Answer 2

bn+1=2-Sn+1
bn=2-Sn
相减有bn+1-bn=-bn+1, bn+1=bn/2
b1=2-2b1得到b1=2/3, bn=1/3*(1/2)^n;

a7-a5=2d=6, d=3, a1=a5-4d=2; an=3*n-1;
Tn =a1*b1+a2*b2+a3*b3+...+an*bn
1/2*Tn= a1*b2+a2*b3+...+an-1*bn+an*bn+1
相减有1/2*Tn=a1*b1+d*(b2+b3+...+bn)-an*bn+1
=4/3+2*1/3*[1-(1/2)^(n-1)]*2-1/3*(3*n-1)*(1/2)^(n+1)

追问

第一问我知道q=1/3 b1=2/3 bn=2/3*1/3^（n-1）吧？可是怎么化简呢

追答

公比是1/2， 不需要化简了啊，大不了变成bn=1/(3*2^n);

追问

貌似算错了前辈。麻烦您可不可以重新看看。

追答

哦 Sorry 我看错了 我以为是bn=2-Sn
另外这就是最简的了，通项肯定跟n有关，无非就是常数部分计算出来
思路就是这样了，Tn-q*Tn就可以得到Tn结果。