Question

急~急~急~！！已知函数f(x)=X/1+lxl,设f1(x)=f(x),fn+1(x)=f【fn(x)】,(n∈N*)

没有财富了，各位大神帮帮忙！！
（1）写出f2（x)和f3(x)的解析式，并猜想数列｛fn(x)}的通项公式
（2)判断并证明函数y=fn(x)(n∈N*)的单调性
（3）对于no∈N*,若函数y=fno(x)的图像与直线y=k有交点，求实数k的取值范围

Answer 1

(1) f2(x)=f[f1(x)]=f1(x)/[1+|f1(x)|]=[x/(1+|x|)]/[1+|x/(1+|x|)|]=[x/(1+|x|)]/[1+|x|/(1+|x|)]=x/(1+2|x|)
f3(x)=f[f2(x)]=f2(x)/[1+|f2(x)|]=[x/(1+2|x|)]/[1+|x/(1+2|x|)|]=[x/(1+2|x|)]/[1+|x|/(1+2|x|)]=x/(1+3|x|)
依此猜想 fn(x)=x/(1+n|x|)，可用数学归纳法验证（略）
(2)当x≥0时，fn(x)=x/(1+nx)，f'n(x)=(1+nx-nx)/(1+nx)²=1/(1+nx)²>0，fn(x)在[0，+∞)上是增函数
又易知fn(x)为奇函数，其图像关于原点对称，所以在(-∞，0]上也是增函数，由于fn(x)在x=0处有定义（连续），从而fn(x)在R上是增函数。
(3) |fn(x)|=|x|/(1+n|x|)=1/(1/|x| +n)<1/n，当x趋向于无穷时，|fn(x)|无限接近于1/n，所以 y=1/n和y=-1/n是fn(x)图像的两条渐近线。
从而，若函数y=fno(x)的图像与直线y=k有交点，则 -1/n0<k<1/n0