Question

过抛物线y^2=2px（p>0）的焦点F任作一条直线m，交抛物线于A,B两点，求证：以AB为直径的圆与抛物线准线相切

Answer 1

一楼证明太复杂，其实不须过多计算。
过弦的两个端点向准线作垂线，这是可得到一个直角梯形。
根据抛物线的定义，得：弦的两个端点到焦点的距离等于梯形的上下底，
也就是梯形的斜腰（就是过焦点的弦）等于上下底的和，
由此可得，梯形的中位线等于弦长的一半，
所以，以弦为直径的圆与直角梯形的直边腰（也就是准线）相切。

Answer 2

F(p/2,0)
AB=Ax+p/2+Bx+p/2=(Ax+Bx+p)/2
AB中点M Mx=(Ax+Bx)/2
作MN垂直准线x=-p/2于N
MN=Mx+p/2=AB/2
MA=MB=MN

Answer 3

：（Ⅰ）由题设知 F(p2，0)，设A（x1，y1），则y1^2=2px，
圆心 ((2x1+p)/4，y1/2)，
圆心到y轴的距离是 (2x1+p)/4，
圆半径为 |FA|/2=1/2×|x1-(-p/2)|=2x1+p4，
∴以线段FA为直径的圆与y轴相切．