Question

如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，求证：AD＜1/2（AB+AC).

Answer 1

这个题上次考试才考的= =，、

证明：

将△ACD绕点D旋转180°得到△BDE

（也可以看作 延长AD到E，使DE=AD，连接BE）

∵AD是BC上中线

∴BD=DC

∵△ACD旋转后得到△BDE

∴旋转后可得到△ABE，且AC=BE（旋转对应边相等），AD=ED

在△ABE中

AB+BE>AE（三角形任意两边之和大于第三边）

而AE=AD+EC=2AD，BE=AC

∴AB+BE>AE

    AB+AC>2AD

    1/2(AB+AC)>AD

Answer 2

第一种方法；
延长AD到E，使得 DE=AD,连接BE

则易知三角形BDE全等于三角形CDA。因此 BE=AC

在三角形ABE中，AE<AB+BE=AB+AC,而且 AE=2AD
所以 AD<1/2(AB+AC）

第二种方法；
延长AD到E，使AD=DE，连接BE

BD=CD
角ADC=EDB

所以三角形ACD全等于EDB

即：BE=AC

在三角形ABE中，AB+BE>AE

AE=2AD

所以：AB+AC>2AD

即：AD<1/2(AB+AC)

Answer 3

以AB和AC为邻边作平行四边形ABEC，向量AB+AC=AE，1/2向量AB+AC=AD（因为AD为BC的中线，平行四边形两条对角线互相平分）