如图所示,在△ABC中,AD为BC边上的中线,求证:AD<1/2(AB+AC).

神笔马艮
2011-12-08 · TA获得超过782个赞
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这个题上次考试才考的= =,、

证明:

将△ACD绕点D旋转180°得到△BDE

(也可以看作 延长AD到E,使DE=AD,连接BE)

∵AD是BC上中线

∴BD=DC

∵△ACD旋转后得到△BDE

∴旋转后可得到△ABE,且AC=BE(旋转对应边相等),AD=ED

在△ABE中

AB+BE>AE(三角形任意两边之和大于第三边)

而AE=AD+EC=2AD,BE=AC

∴AB+BE>AE

    AB+AC>2AD

    1/2(AB+AC)>AD

帛德本x7
2011-12-08 · TA获得超过283个赞
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第一种方法;
延长AD到E,使得 DE=AD,连接BE

则易知三角形BDE全等于三角形CDA。因此 BE=AC

在三角形ABE中,AE<AB+BE=AB+AC,而且 AE=2AD
所以 AD<1/2(AB+AC)

第二种方法;
延长AD到E,使AD=DE,连接BE

BD=CD
角ADC=EDB

所以三角形ACD全等于EDB

即:BE=AC

在三角形ABE中,AB+BE>AE

AE=2AD

所以:AB+AC>2AD

即:AD<1/2(AB+AC)
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fing爷
2011-12-08 · TA获得超过472个赞
知道小有建树答主
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以AB和AC为邻边作平行四边形ABEC,向量AB+AC=AE,1/2向量AB+AC=AD(因为AD为BC的中线,平行四边形两条对角线互相平分)
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