Question

关于定积分的问题

设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2∫f(t)dt.（积分区间为[0,1])...
求f(x)
答案上给的方法是对等式两边积分，可是为什么对等式右边的积分式积分后，成了2∫f(x)dx呢？这个积分变量是怎么回事啊？
谢谢大家

Answer 1

此题解答如下：
条件中所给的等式，它右边的∫f(t)dt（积分区间为[0,1])为闭区间内的定积分，所以他的值应该是一个常数，设该定积分的值为L
f(x)=x+2∫f(t)dt
f(x)=x+2L
对上式两边同时进行积分，积分区间为[0,1]
∫f(x)dx =∫ x dx + ∫ 2L dx 三个积分的积分区间都为[0,1]
等式左边∫f(x)dx 在[0,1]上的积分就是L，等式邮编就是一般的积分，用牛顿莱布尼茨公式计算
最后得到下式：
L =1/2 + 2L
L= - 1/2
所以 f(x)=x+2∫f(t)dt = x -1
将函数f(x)=x -1 代回到题设中进行验算，完全符合条件。
此题关键就在于把所给等式右边的∫f(t)dt设成一个常数L来处理，整个题目应该还是比较简单的。

Answer 2

注意等式右边的积分就是一个数，你要把它当成一个数a对待，这个问题就容易了。两边积分得
a=左边从0到1的积分=x从0到1的积分+2a从0到1的积分=1/2+2a，故a=-1/2，于是f(x)=x-1

Answer 3

a=∫f(t)dt.（积分区间为[0,1])...
f(x)=x+2a=x+2∫f(t)dt.（积分区间为[0,1])=x+2∫(t+2a)dt.（积分区间为[0,1]).
=x+(t^2+4at)(t取值区间（0，1））
=x+1+4a
x+2a=x+1+4a
2a=1+4a
a=-1/2
f(x)=x-1

Answer 4

dy/dx=1+2y
dy/(1+2y)=dx
(1/2)ln(1+2y)=x+c
y=(-1+Ce^2x)/2