Question

高中数学必修4诱导公式

1.sin163°sin223°+sin253°sin313°=___
2.已知 α，β均为锐角，且cosα=4/5，cos（α+β ）=-16/65，那么cosβ=_______
3.已知 α，β均为锐角,且sinα=根号五/5，cosβ=根号十，那么α-β=_________
4.已知 α，β∈(0,π/2),sinα-sinβ=-1/2,cosα-cosβ=1/2,那么sin(α-β)=________
5.在△ABC中，sin2A=2/3，则sinA+cosA=______
6.已知cos2θ=根号二/3，则sin四次方θ+cos四次方θ的值为____

要有详细的解释，
怎么才能学好这些东西呀，公式都混在一块，乱死了==

Answer 1

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Answer 2

1.sin（π-α）=sinα，sin（π+α）=-sinα，sin（3π/2-α）=-cosα，sin（3π/2+α）=-cosα
则sin163°=sin（180°-17°）=sin17°，
sin223°=sin（180°+43°）=-sin43°，
sin253°=sin（270°-17°）=-cos17°，
sin313°=sin（270°+43°）=-cos43°
所以，sin163°sin223°+sin253°sin313°=-sin17°sin43°+cos17°cos43°
=cos（43°-17°）=cos26°

2.因为α，β是锐角，所以0＜α，β＜π/2，则0＜α+β＜π，所以sinα，sin(α+β)都＞0
由sin²α+cos²α=1可知，sinα=3/5，sin(α+β)=27/65
所以，cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinβ=17/325

3.根据2中分析可知，0＜α，β＜π/2，则0＜α+β＜π
因为sinx在(0,π)上没有单调性，而cosx在(0,π)有单调性，因此可以通过求cos(α-β)来确定α-β
因为0＜α，β＜π/2，根据sin²α+cos²α=1可得，cosα=2根号5/5，sinβ=3根号10/10
则cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=根号2/2
所以，α-β=π/4

4.记sinα-sinβ=-1/2为等式（1），记cosα-cosβ=1/2为等式（2）
（1）²+（2）²可得，sin²α+cos²α+sin²β+cos²β-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1/2
即2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1/2
所以，cosαcosβ+sinαsinβ=3/4，即cos(α-β)=3/4
因为α，β∈(0,π/2)，所以-π/2＜α-β＜π/2
而sinα-sinβ=-1/2＜0，则sinα＜sinβ，根据y=sinx在x∈(0,π/2)上单调递增可知，α＜β
所以，-π/2＜α-β＜0
∴sin(α-β)=-根号[1-cos²(α-β)]=-根号7/4

5.sin2A=2sinAcosA=2/3
则(sinA+cosA)²=sin²A+cos²A+2sinAcosA=1+2·2/3=7/3
所以，sinA+cosA=±根号21/3

6.已知cos2θ=根号二/3，则sin四次方θ+cos四次方θ的值为____
因为cos2θ=根号2/3，所以sin²2θ=1-cos²2θ=7/9
sin^4θ+cos^4θ=(sin²θ+cos²θ)²-2sin²θcos²θ=1-1/2(2sinθcosθ)²=1-1/2sin²2θ=1-1/2·7/9=11/18

Answer 3

公式太多容易混乱，其实还有具体简单的秘诀，一句就行：
凡符合kπ/2+α或kπ/2-α的才可以用诱导公式，其秘诀为：“奇变偶不变，正负看象限”。
所谓“奇变偶不变”，是指当“k为奇数时，函数名改变”，正弦变为余弦，余弦变为正弦，正切变为余切，余切变为正切；“k为偶数时，函数名不变”，求啥结果还是啥。
所谓正负看象限，是指看条件中给出的角所在的象限，对应也有四句口诀：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”。一全正就是第一象限的角弦切均为正值，第二象限的角只有正弦才是正的，第三象限的角只有正切余切才是正的，第四象限的角只有余弦才是正的，其余均为负值，根据这四句话将正负号判断出来，写到第一步得出的函数名前就可以了。

Answer 4

你把角的终边默认从X轴开始逆时针旋转，想象下，先记住 前面的诱导公式，后面的积化和差和差化积用前面的诱导公式推导的，所以，而且很容易记，有规律的~

Answer 5

1.记住基本的公式，然后去推导
2.边看边推导
3.死记