Question

线性代数关于相似矩阵的一道题求解。

矩阵A= 1 0 1 B=A^2-2A+3E,求对角矩阵C使B与C相似。
0 2 0
1 0 1
我这里有个解法是先求A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0.
ΔB=（3E+A）^2
所以B的特征值是25 25 9。
我想知道的就是这个ΔB是个毛啊？

Answer 1

B=A^2-2A+3E,求对角矩阵C使B与C相似。
若A可对角化，设P^(-1)AP=C; 则A=PCP^(-1),
B={PCP^(-1)}^2-2{PCP^(-1)}+3PP^(-1)=P{C^2-2C+3E}P^(-1),
C^2-2C+3E 为一个对角阵 所以问题关键就是求A 的对角阵
因A为三阶矩阵，所以有三个特征值；λ1，λ2，λ3，因A比较特殊，用特殊办法求会比较简单
一三行成比例故 |A|=0；所以必有一个特征值为λ1=0，
另外，每行的和为2，故A(1,1,1)^T, 所以有特征值为λ2=2，
因 迹=a11+a22+a33=1+2+1=4=λ1+λ2+λ3=0+2+λ3, λ3=2
所以C可以为 2 0 0
0 2 0
0 0 0

Answer 2

A是实对称矩阵, 且A的特征值为 0,2,2
所以A相似于对角矩阵 diag(0,2,2).

则B也是实对称矩阵, 且B的特征值为 3, 0,0
所以B相似于对角矩阵C = diag(3,0,0).

补充: f(x) = x^2-2x+3
则 B=f(A) 的特征值为 f(0),f(2),f(2), 即 3,0,0

Answer 3

先求解A的特征值，解得特征值为0和2（2重），再解线性无关特征向量共三个。
然后由哈密顿凯莱公式解得B的特征值为3（3重），B的特征向量与A相同，所以
B也有三个线性无关特征向量，故B可对角化，从而B的相似对角阵为其特征值的对角矩阵
3 0 0
0 3 0
0 0 3

Answer 4

DB没用啊。既然算出A的特征值了，B的特征值就是x^2-2x+3，x是A的特征值，因此B的是3,3,3，C=3E即可

Answer 5

B=3E，事实上有
C=T`(-1)(3E)T=3E