Question

已知三圆两两外切，半径分别为x，y，z。求与这三圆都外切圆的半径和与这三圆都内切的圆的半径。

Answer 1

都内切：

设⊙A、⊙B、⊙C两两外切，若⊙O与他们都内切时 

则⊙O刚好能同时覆盖它们 

设⊙A、⊙B、⊙C、⊙O的半径分别为x、y、z、R 

则AB=x+y、BC=y+z、CA=z+x、OA=R-x、OB=R-y、OC=R-z 

SΔABC = SΔABO+SΔCAO-SΔBCO

√[(x+y+z)xyz]=√[(R-x-y)Rxy]+√[(R-z-x)Rzx]-√[(R-y-z)Ryz]

都外切：

设⊙A、⊙B、⊙C、⊙O的半径分别为x、y、z、R 

则AB=x+y、BC=y+z、CA=z+x、OA=R+x、OB=R+y、OC=R+z 

SΔABC = SΔABO+SΔCAO+SΔBCO

√[(x+y+z)xyz]=√[(R+x+y)Rxy]+√[(R+z+x)Rzx]+√[(R+y+z)Ryz]

Answer 2

由题意知道A，B，C的半径分别为X,Y,Z
∴AB＝X＋Y,AC＝X＋Z,BC＝X＋Y．
O是所求圆的圆心设半径为r和R，连接OA、OC、OB，
∴OA=R＋X、OC=R＋Z、OB=R＋Y，
又因为D点位于C,B公切线上。
AD⊥BC.
OC²－CD²＝OB²－BD²
Y＝Z
同理，可得XYZ相等。
△ABC为等边。∠COD＝60°
SIN∠COD＝CD／CO＝√3／2
r＝﹙2√3／3﹚X－X
大圆的半径R=r＋z＝﹙2√3／3﹚X

追问

哎呀呀呀，这个图不是我画的，是网上的，XYZ不相等的情况下，求R

追答

解设内切圆O的半径为m,外切圆Q的半径为n
圆A，圆B，圆C的圆心组成一个ΔABC，记ΔABC的面积为Δ，半周长为s，外接圆与内切圆半径分别为R,r，令BC=a，CA=b，AB=c ，则 a=y+z，b=z+x，c=x+y。s=x+y+z，Δ=√[xyz(x+y+z)],r(4R+r)=yz+zx+xy。
下面分别求出用x,y,z表示的m，n的表达式。为此先给出一个三角恒等式。
引理:设α+β+γ=π，则有
cos(2α)+cos(2β)+cos(2γ)+1+4cosα*cosβ*cosγ=0(1)
连AQ，BQ，CQ，则AQ=x+n，BQ=y+n，CQ=z+n。设∠BQC=2α，∠CQA=2β，∠AQB=2γ。
在ΔBQC，ΔCQA，ΔABQ中，易求得三个三角形面积，
S(BQC)=√[nyz(y+z+n)];
S(CQA)=√[nzx(z+x+n)];
S(BQC)=√[nxy(x+y+n)].
故有恒等式:
√[nyz(n+y+z)]+√[nzx(n+z+x)]+√[nxy(n+x+y)]=√[xyz(x+y+z)]. (2)
在ΔBQC中可求出
cos(2α)=[(y+n)^2+(z+n)^2-(y+z)^2]/[2(y+n)*(z+n)]
cos(2α)=(n^2+ny+nz-yz)/[2(y+n)*(z+n)], (3-1)
cosα=√[(y+z+n)n/(y+n)*(z+n)]. (3-2)
同样在ΔCQA，ΔABQ中可求出
cos(2β)=(n^2+nz+nx-zx)/[2(z+n)*(x+n)], (4-1)
cosβ=√[(z+x+n)n/(z+n)*(x+n)]. (4-2)
cos(2γ)=(n^2+nx+ny-xy)/[2(x+n)*(y+n)], (5-1)
cosγ=√[(x+y+n)n/(x+n)*(y+n)]. (5-2)
将上述三式代入恒等式(1)中，化简整理为
xyz-n(yz+zx+xy)-2n^2*(x+y+z)-2n^3=2n√[n(y+z+n)*(z+x+n)*(x+y+n)]
上式两边平方化简整理为
n^2*[(yz+zx+xy)^2-4xyz(x+y+z)]-2nxyz(yz+zx+xy)+(xyz)^2=0 (6)
解此方程得:
n=xyz{(yz+zx+xy)±2√[xyz(x+y+z)]}/[(yz+zx+xy)^2-4xyz(x+y+z)]
不合题意舍去，所以得:
n=xyz/{2√[xyz(x+y+z)]+(yz+zx+xy)}
n=sr/(2s+4R+r)
同样方法可求出
√[myz(n-y-z)]+√[mzx(n-z-x)]+√[mxy(n-x-y)]=√[xyz(x+y+z)]. (7)
m^2*[(yz+zx+xy)^2-4xyz(x+y+z)]-2mxyz(yz+zx+xy)+(xyz)^2=0. (8)
m=xyz/{2√[xyz(x+y+z)]-(yz+zx+xy)}.
m=sr/(2s-4R-r).

追问

Δ=√[xyz(x+y+z)],
这一步，没有看懂。
好像应该是这样的：Δ=√s(s-x-y)(s-y-z)(s-z-x)=√szxy
r(4R+r)=yz+zx+xy 这一步是什么定理。
外切圆Q的半径为n
连AQ，BQ，CQ，则AQ=x+n，BQ=y+n，CQ=z+n。 AQ应该是n-x，BQ应该是n-y，CQ应该是n-z吧。
最后结果：n=sr/(2s+4R+r) ，m=sr/(2s-4R-r). 怎么还有R和r, m，n是内外圆半径，R和r也是内外圆半径啊？

追答

S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)),p=x+y+z,海伦公式。abc为三角形三边。在这题里a=y+z，b=z+x，c=x+y

半周长为s，外接圆与内切圆半径分别为R,r，
xyz=sr^2,
x+y+z=s,
yz+zx+xy=r(4R+r),
根椐三角形恒等式:2(bc+ca+ab)-(a^2+b^2+c^2)=4r(4R+r),

追问

哦这个是对的。Δ=√[xyz(x+y+z)],
AQ=x+n，BQ=y+n，CQ=z+n这个还是没有太懂。
我先把你的结果写下来，然后我用数值带入，看看对不对。
n=sr/(2s+4R+r)
m=sr/(2s-4R-r)
其中：s=x+y+z，
r=√[xyz(x+y+z)] / (x+y+z)=√xyz/(x+y+z),
R=(x+y)(y+z)(z+x)/√(((x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2)-2((x+y)^4+(y+z)^4+(z+x)^4))

写的不对请帮我指正啊。最后这个我就不化简了，估计没戏。

追答

AQ=x+n，BQ=y+n，CQ=z+n。指的是外切圆Q。
外切圆是在三个圆之间的圆。
如果指的是内切圆的话就是减去了。
与这三圆都外切圆的是一个小圆，与这三圆都内切的圆的是一个大圆。
还有m,n这个只不过是为了不混淆而设的。我再做一下尽量把题目简单化些。

追问

X=6
Y=6
Z=6
S=18
r=6*6*6*18/18=√216/√18
= 3.4641016151377545870548926830117
R=12*12*12/√((144+144+144)^2-2(1296+1296+1296))
=1728/√(186624-2*3888)
=1728/√178848
=4.086
n=sr/(2s+4R+r)
=18*r/(2*18+4*R+r)= 1.3113
m=sr/(2s-4R-r)
=18*r/(2*18-4*R-r)= 3.8509 <6不对。

实际n=0.9282

追答

设外切的圆半径为r
AB=6，BC=6+r
根据对称性得，中间三个角都是120°，∠ACB=60°
∵A是BE中点，BD=DE
∴AD⊥BE
∴∠ABC=30°
∴AB=√3AC，BC=2AC
∴AB/BC=√3/2
即6/(6+r)=√3/2
r=4√3-6

追问

对啊4√3-6=0.92820323027550917410978536602349

追答

嗯我知道
那你用最好用根号表示吧，除非题目要求你保留几位小数你再化为小数。

追问

我计算过程中一直都用的这么多位小数，而且没有高次运算，所以应该偏移不会太大。我在你空间留言了。我好像追问次数有限。

追答

好的

Answer 3

解：大概是这样的
由题意知道A，B，C的半径分别为X,Y,Z
∴AB＝X＋Y,AC＝X＋Z,BC＝X＋Y．
O是所求圆的圆心设半径为r和R，连接OA、OC、OB，
∴OA=R＋X、OC=R＋Z、OB=R＋Y，
又因为D点位于C,B公切线上。
AD⊥BC.
OC²－CD²＝OB²－BD²
Y＝Z
同理，可得XYZ相等。
△ABC为等边。∠COD＝60°
SIN∠COD＝CD／CO＝√3／2
r＝﹙2√3／3﹚X－X
大圆的半径R=r＋z＝﹙2√3／3﹚X

追问

哎呀呀呀，这个图不是我画的，是网上的，XYZ不相等的情况下，求R