Question

如图，抛物线y=1/2x^2+bx

如图，抛物线y=1/2x^2+bx-2与x轴交于AB两点,与y轴交于C点，且A(-1,0).(1)求解析式及顶点D的坐标（2）判断△ABC的形状，并证明（3)点M(m,0)是x轴上一个动点，当MC+MD得值最小时，m的值？

Answer 1

1.将A(-1,0)代入抛物线，得1/2-b-2=0，b=-3/2，抛物线的解析式为y=1/2x2-3/2x-2；顶点D的坐标为（3/2，-25/8），2.当y=0时，解1/2x2-3/2x-2=0，得x=-1或4，所以A（-1，0），B（4，0），所以AB=5，AB²=25，因为C（0，-2），AC²=5，BC²=20，AB²=AC²+BC²，所以三角形ABC为直角三角形；3.点C关于x的对称点C‘（0，2），又知D（3/2，-25/8），可求直线CD为y=-41/12x+2，当y=0时，x=24/41，所以当m=24/41时，MC+MD的值最小

Answer 2

(1)把(-1,0)代入解析式得到b=-3/2；所以y=1/2x²-3/2x-2=1/2(x-3/2)²-25/8，所以D(3/2,-25/8)；
(2)所以y=1/2x²-3/2x-2=1/2(x+1)(x-4)，所以A(-1,0)，B(4,0)，C(0,-2)，所以AB=5，AC=√5，BC=2√5，所以AC²+BC²=AB²，所以是直角三角形。
(3)若MC+MD最小，需要找到C关于x轴的对称点C'（0,2），则C'D的长就是它的最小值，而直线C'D的方程是y=kx+2，代入D坐标可以求得x=-41/12，所以M（-41/12，0），即m=-41/25

Answer 3

(1)将A(-1,0).代入y=1/2x^2+bx-2得b=-3/2
解析式y=1/2x^2-(3/2)x-2
配方得：y=(1/2)(x-3/2)^2-25/8
D(3/2,-25/8)
(2)令y=0,即1/2x^2-(3/2)x-2=0
解得：x=-1,或x=4
所以B(4,0) 又C（0，-2）
所以BC=2√5,AB=5,AC=5
AB^2=BC^2+AC^2
△ABC是直角三角形，角C=90度
（3）C（0，-2）关于x轴对称点为C'(0,2)
MC+MD=MC'+MD≥C'D,
取等号时，C',M,D三点共线
C'D的方程为y=kx+2,
将(3/2,-25/8)代入y=kx+2
得：k=-41/12,
C'D的方程为y=(-41/12)x+2,
将M(m,0）代入得m=24/41

Answer 4

抛物线过A
所以0=1/2-b-2
b=-3/2
抛物线为y=1/2x^2-3/2x-2=1/2(x^2-3x+9/4-9/4)-2=1/2(x-3/2)^2-25/8
D为（3/2,-25/8）
C为（0，-2） B(4,0)
AC^2=5 AB^2=25 BC^2=20
AC^2+BC^2=AB^2
△ABC为直角三角形
MC^2=m^2+4 MD^2=(3/2-m)^2+625/9