Question

二重积分的问题，求解答

具体看图

Answer 1

解答如图

追问

谢谢你，我想问一下就是第一步交换积分顺序是怎么来的，我有点弄不清楚t，u，x之间的关系，能麻烦详细说一下么？

追答

把x看做常量，以u，t为变量作直角坐标系，把积分区间画出来。积分区间是t=0,u=x,t=u²围成的一个区域，大概是一条直线加上一条抛物线的区域。然后交换顺序就可以了。不得不说一句，我在交换积分顺序的时候少算了一个负号。答案应该是-1/3

Answer 2

由于0≤t≤x^2,所以0≤√t≤x，因此，原极限=lim[﹣∫(0到x^2)dt∫(√t到x)f(t,u)du]/[1-e^(-x^3)]
=lim[﹣∫(0到x)du∫(0到u^2)f(t,u)dt]/[1-e^(-x^3)]
=lim[﹣∫(0到x^2)f(t,x)dt]/[﹣e^(-x^3)×(﹣3x^2)] （应用洛必达法则，g(x)=∫(a到x)h(s)ds的导数为 =lim[﹣∫(0到x^2)f(t,x)dt]/(3x^2) h(x)）
令t=r^2,由于0≤t≤x^2,所以0≤r≤x，因此，原极限=lim[﹣∫(0到x)f(r^2,x)dr^2]/(3x^2)
=lim[﹣∫(0到x)f(r^2,x)×2rdr]/(3x^2)
=lim[﹣2xf(x^2,x)]/(6x)
=lim[﹣1/3×f(x^2,x)]
=1/3.