Question

斯特瓦特定理怎么证明，以勾股定理证明。

注意！是以勾股定理为基础，不要用别的，不要用余弦定理，就是直接证明左边等于右边。

Answer 1

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。）
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
4．把求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（右例中的试商即为[152/(2×20)]＝[3.8]＝3。）
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。（即3为平方根的第二位。）
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去上法中所求的积（即152－129＝23），与第三段数组成新的余数（即2325）。这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数（2325），所得的最大整数为新的试商。（2325/(23×20)的整数部分为5。）
7．对新试商的检验如前法。（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235为所求的平方根。）

如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法。
手动开立方
1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；
2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；
3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；
4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；
5．把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；
6．用同样的方法，继续求立方根的其他各位上的数。对新试商的检验亦如前法。
如果D为三角形ABC边BC上一点，且BD:DC=m：n　　
则有（m＋n）²AD²＝（m＋n）（mb²＋nc²）－mna² 　　证　由BD:DC=m：n，有BD＝am/（m＋n） 　　
由余弦定理 　　
AD²＝AB²＋BD²－2AB×BDcosB 　　
＝c²＋〔am/（m＋n）〕²－2c×〔am/（m＋n）〕 　　
*〔（a²－b²＋c²）/2ac〕 　　
　　
即 （m＋n）²×AD²＝（m＋n）（mb²＋nc²）－mna²

Answer 2

如果D为三角形ABC边BC上一点，且BD:DC=m：n　　
则有（m＋n）²AD²＝（m＋n）（mb²＋nc²）－mna² 　　证　由BD:DC=m：n，有BD＝am/（m＋n） 　　
由余弦定理 　　
AD²＝AB²＋BD²－2AB×BDcosB 　　
＝c²＋〔am/（m＋n）〕²－2c×〔am/（m＋n）〕 　　
*〔（a²－b²＋c²）/2ac〕 　　
　　
即 （m＋n）²×AD²＝（m＋n）（mb²＋nc²）－mna²

Answer 3

若D为三角形ABC边BC上一点，且BD:DC=m：n　　
则有（m＋n）²AD²＝（m＋n）（mb²＋nc²）－mna² 　　证　由BD:DC=m：n，有BD＝am/（m＋n） 　　
由余弦定理 　　
AD²＝AB²＋BD²－2AB×BDcosB 　　
＝c²＋〔am/（m＋n）〕²－2c×〔am/（m＋n）〕 　　
*〔（a²－b²＋c²）/2ac〕 　　
即 　　
（m＋n）²×AD²＝（m＋n）（mb²＋nc²）－mna²

Answer 4

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。）
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
4．把求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（右例中的试商即为[152/(2×20)]＝[3.8]＝3。）
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。（即3为平方根的第二位。）
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去上法中所求的积（即152－129＝23），与第三段数组成新的余数（即2325）。这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数（2325），所得的最大整数为新的试商。（2325/(23×20)的整数部分为5。）
7．对新试商的检验如前法。（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235为所求的平方根。）

如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法。
手动开立方
1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；
2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；
3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；
4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；
5．把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；
6．用同样的方法，继续求立方根的其他各位上的数。对新试商的检验亦如前法。