复数已知z=sinθ+(2-cos^2θ)i,0≤θ<2π
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∵0≦θ＜2π， ∴0≦2＜4π， ∴－1≦cos2θ≦1。
而｜z｜＝√｛（sinθ）^2＋［2－（cosθ）^2θ］^2｝
＝√［1－（cosθ）^2＋4－4（cosθ）^2＋（cosθ）^4］
＝√［（cosθ）^4－5（cosθ）^2＋5］
＝√｛［（cosθ）^2－5/2］^2＋5－（5/2）^2｝
＝（1/2）√［2（cosθ）^2－5］^2＋20－25｝
＝（1/2）√［（cos2θ－4）^2－5］。
∴当cos2θ＝1 时，｜z｜有最小值＝（1/2）√［（1－4）^2－5］＝（1/2）√（9－5）＝1；
当cos2θ＝－1 时，｜z｜有最大值＝（1/2）√［（－1－4）^2－5］＝（1/2）√（25－5）＝√5。
∴｜z｜的取值范围是［1，√5］。
而｜z｜＝√｛（sinθ）^2＋［2－（cosθ）^2θ］^2｝
＝√［1－（cosθ）^2＋4－4（cosθ）^2＋（cosθ）^4］
＝√［（cosθ）^4－5（cosθ）^2＋5］
＝√｛［（cosθ）^2－5/2］^2＋5－（5/2）^2｝
＝（1/2）√［2（cosθ）^2－5］^2＋20－25｝
＝（1/2）√［（cos2θ－4）^2－5］。
∴当cos2θ＝1 时，｜z｜有最小值＝（1/2）√［（1－4）^2－5］＝（1/2）√（9－5）＝1；
当cos2θ＝－1 时，｜z｜有最大值＝（1/2）√［（－1－4）^2－5］＝（1/2）√（25－5）＝√5。
∴｜z｜的取值范围是［1，√5］。
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TableDI
2024-07-18 广告
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