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复数已知z=sinθ+(2-cos^2θ)i,0≤θ<2π
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∵0≦θ<2π, ∴0≦2<4π, ∴-1≦cos2θ≦1。
而|z|=√{(sinθ)^2+[2-(cosθ)^2θ]^2}
=√[1-(cosθ)^2+4-4(cosθ)^2+(cosθ)^4]
=√[(cosθ)^4-5(cosθ)^2+5]
=√{[(cosθ)^2-5/2]^2+5-(5/2)^2}
=(1/2)√[2(cosθ)^2-5]^2+20-25}
=(1/2)√[(cos2θ-4)^2-5]。
∴当cos2θ=1 时,|z|有最小值=(1/2)√[(1-4)^2-5]=(1/2)√(9-5)=1;
当cos2θ=-1 时,|z|有最大值=(1/2)√[(-1-4)^2-5]=(1/2)√(25-5)=√5。
∴|z|的取值范围是[1,√5]。
而|z|=√{(sinθ)^2+[2-(cosθ)^2θ]^2}
=√[1-(cosθ)^2+4-4(cosθ)^2+(cosθ)^4]
=√[(cosθ)^4-5(cosθ)^2+5]
=√{[(cosθ)^2-5/2]^2+5-(5/2)^2}
=(1/2)√[2(cosθ)^2-5]^2+20-25}
=(1/2)√[(cos2θ-4)^2-5]。
∴当cos2θ=1 时,|z|有最小值=(1/2)√[(1-4)^2-5]=(1/2)√(9-5)=1;
当cos2θ=-1 时,|z|有最大值=(1/2)√[(-1-4)^2-5]=(1/2)√(25-5)=√5。
∴|z|的取值范围是[1,√5]。
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2024-07-18 广告
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