Question

已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程

ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0
　　至少有一个整数根，求a的值．

Answer 1

分析 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．
　　解 因为a≠0，所以

　　所以

　　所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
　　例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程
mx2-(m-1)x＋1＝0
　　有有理根，求m的值．
　　解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
Δ=(m-1)2-4m＝n2，
　　其中n是非负整数，于是
m2-6m+1=n2，
　　所以 (m-3)2-n2=8，
(m-3＋n)(m-3-n)＝8．
　　由于m-3＋n≥m-3-n，并且
(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)
　　是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以

　　 　
　　 　
　　说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．

Answer 2

判别式 b^2 -4ac
(4a-2)^2 - 4*4a(a-3) = 32a +4
题中的a是正整数 说明32a +4恒大于0，方程必有两根
方程两根为 1/a -2 + √(8a +1)/a 和1/a -2 -√(8a +1)/a
要有整数根，则 √(8a +1)必为一个平方数 a可取 1 3 6 10 15 21 。。。
[1+√(8a +1)]/a 和 [1-√(8a +1)]/a 至少一个为整数 检验下，a只能取 1 3 6 10

Answer 3

ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0
解：a=a b=2(2a-1) c=4(a-3)
b2-4ac=（4a-2）2-4*4a（a-3）
∵至少有一个整数根
∴b2-4ac≥0
∴a≥--0.125（解0≥（4a-2）2-4*4a（a-3）得的值，你想要步骤的话再找我）