Question

问几道高数问题，是我做过不会做的，求帮忙~

1、要使f(x)=(2+x²)^(2/x²)在x=0处连续，应补充定义的值为？
我是这样解的：lim（x--﹥0）（1+（1+x²））^(2(x²+1)/(x²+1)x²)
=e^(lim(x->0) 2(x²+1)/x²,然后就做不出来了。
答案是0

2.f（x）=﹛x²／tan (πx/2),x≠m 0,x=m 则f(x)的间断点是？
答案是x=±2，±4，±6，但我的答案是x=m（m≠0）
因为0的极限=0，所以0不是间断点。然后我把m=±1，±2。。。。都带入lim(x-->m)x²／tan (πx/2)中，因为tan π/2不存在，而tan π=0，所以都是间断点？

3、lim(x-->0) lncosx/lncos3x=?
我把0直接代入，得答案1。但答案是1/9

4、f(x)=lim(n-->∞)[x³＋x³／﹙1＋x²﹚²＋.....＋x³／﹙1＋x²﹚^n],判断连续性，这道题目我看不懂。。。

无论如何感谢大家的帮助！！

Answer 1

1题、这个f(x)=(2+x²)^(2/x²)在x→0的极限是2^∞=∞不存在，这种情况不能补充定义使f(x)在x=0处连续

2题、
①“因为x→0的极限=0，所以0不是间断点”这句话是对的
②因为x→1(m=1)tan π/2=∞，所以f(x)的极限=0，所以m=1不是间断点（同理m=±1，±3，…不是间断点）
③因为x→2(m=2)tan π=0，所以f(x)的极限=∞不存在，所以m=2是间断点（同理m=±2，±4，…是间断点）

3题、直接把0代入的话，分母是代不成的，方法是用洛必达法则，得1/9

4题、这道题的题意是
①先把x看成确定的实数，求n-->∞的极限，得到不含有n、对只含有变量x的函数f(x)
②对只含有变量x的函数f(x)判断连续性
③题中中括号的第1项就是x³吗？还是x³／﹙1＋x²﹚啊？

注意一下，求极限时，在很多时候是不能“代入”的，比如3题和2题里都有这种情况