Question

高一物理（竞赛）

倾角为θ的斜面光滑，自斜面上某处以速度v沿与斜面夹角为φ的方向向斜面上方抛出一小球，设小球与斜面间的碰撞是完全弹性的，斜面足够长，要求小球最后仍能回到原出发点，则φ应满足什么条件？
初次接触运动学的竞赛题，希望通俗详细

Answer 1

整个运动过程中，质点的机械能守恒，显然，若质点能回到原出发点，则它沿斜面向上的运动和向下的运动应该是互相对称的，亦即质点沿斜面方向运动到其能达到的最高点后，它应沿“原路”返回。这样，有两种情况都能满足这一要求。一是质点最后一次与斜面相碰时，其速度方向刚好与斜面垂直，则其反弹起来的速度必与其碰前的速度大小相等而方向相反，这样，质点此后的运动将把其上升过程的运动“反演”一次，可回到原出发点。二是质点最后一次与斜面相碰后，其反弹起来的速度恰沿竖直向上的方向，则质点弹起后作竖直上抛运动，当质点达到竖直上抛的顶点后，接着便会将此前的运动“反演”，也会回到原出发点。

由于运动的对称性，为求解的方便，我们可按上述两种情况求出质点沿斜面下降中各次与斜面相碰的速度，而将此速度逆转，即为满足题目要求的抛出速度。

追问

方法懂了，谢谢

真不知道1楼是在哪里抄的，还类平抛。。。。

如果我晚上上的时候可能还没做出正确答案，希望那时我以问你哈

605823624

追答

不好意思啊，我很久以前就不用QQ了，目前基本上已经忘了。不过你有还有什么问题可以随时来问我，我一定全力帮助！

Answer 2

解：（1）建立如图三所示的坐标系，设质点沿垂直于斜面的方向（图中＋y方向）以某一初速度v0抛出，在质点再次与斜面相碰前，质点在空中运动时其加速度的两分量分别为：

θ
x
y
Ф
ax＝gsinθ

ay＝－gcosθ
在某一时刻t时，质点的速度两分量为：
vy＝v0－gcosθt
vx＝gsinθt
时刻t时，质点的位置坐标为：
x＝gsinθt2/2
y＝v0t－gcosθt2/2
由上式中令y＝0得质点由出发至第一次与斜面相碰所历时间为：
T＝2v0/gcosθ
此时质点的两速度分量为：
vy＝－v0
vx＝gsinθ·T
质点由斜面反弹起来时，其垂直于斜面方向的速度大小是v0,可见此后质点每两次与斜面相碰的时间间隔为T，则质点第n次与斜面相碰时的速度分量分别为：
vy＝－v0
vx＝gsinθ·nT
令此时速度方向与斜面间的夹角为Ф，则有：
tgФ＝∣vy/vx∣＝v0/(ngsinθ·2v0/gcosθ)＝ctgθ/2n . (n=、2……) ①1
（2）设质点由空中自由下落到斜面上，与斜面相碰时速度为v0，仍在图中所示的坐标系中，同上分析可得，质点连续两次与斜面相碰的时间间隔为：
T＝2v0cosθ/gcosθ＝2v0/g
此后，质点第n次与斜面相碰时其速度分量为：
vx＝v0sinθ＋gsinθ·(n－1)T
vy＝－v0cosθ
由上三式解得质点第n次与斜面相碰时，速度方向与斜面间的夹角Ф应满足：
tgФ＝∣vy/vx∣＝v0ctgθ/【v0＋2v0(n－1)】＝ctgθ/(2n-1). (n=1、2……) ②
（3）由上分析可知，若将运动情况逆转，则依①式或②式确定的Ф角方向抛出质点，
则质点将可沿原路返回，综合（1）（2）两种情况，可知在斜面上抛出质点的速度方向与斜面间的夹角Ф只要满足：tgФ＝ctgθ/k. (k＝1、2……)时，质点便能返回原出发点。

追问

图？
605823624
懂了再加50

追答

往这看！

参考资料： http://epaper.tianjinwe.com/cskb/cskb/2010-04/08/content_42966.htm

Answer 3

最终的情况是小球必须垂直的与斜面相碰，才可以回到出发点。
最终的答案是
tgФtgθ=2
可以参考1楼的自己去做，如果你的基础很好的话，可以看懂的，如果不是很好的话，建议不要去做了，竞赛本省比较难的。