Question

如图所示,直线PA交圆O于A,E两点,PA垂线DC切圆O于C,过点A作圆O的直径AB.

1.求证；AC平分∠DAB;2.若DC=2,求圆O的直径

Answer 1

（1）证明：方法一：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵DC切⊙O于C点，
∴∠DCA=∠B，
∵DC⊥PE，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；
方法二：连接CO，
因为DC与⊙O相切，
所以DC⊥CO，
又因为PA⊥CD，
所以CO∥PE，
所以∠ACO=∠CAO=∠CAD，即AC平分∠DAB
（2）解：在Rt△ADC中，AD=2，DC=4，
∴AC=AD2+DC2=25，
由（1）得Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ABAC=ACAD，
即AB=AC2AD=202=10，
∴⊙O的直径为10．

Answer 2

（1）证明：方法一：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵DC切⊙O于C点，
∴∠DCA=∠B，
∵DC⊥PE，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；
方法二：连接CO，
因为DC与⊙O相切，
所以DC⊥CO，
又因为PA⊥CD，
所以CO∥PE，
所以∠ACO=∠CAO=∠CAD，即AC平分∠DAB
（2）解：在Rt△ADC中，AD=2，DC=4，
∴AC=√AD²+DC²=2√5
由（1）得Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴AB/AC=AC/AD，
即AB=AC²/AD=20/2=10
∴⊙O的直径为10

Answer 3

因为∠B=∠ADC(同弧所对的圆周角与弦切角相等)
又因为∠ADC=90°（已知），∠ACB=90°（直径所对的圆周角相等）
在三角形ADC和ACB中，有两对对应角相等，所以∠DAC=∠CAB。所以AC平分∠DAB
（2）还需一个条件才能求出直径。