Question

求二次函数的应用题解题技巧。

Answer 1

函数应用题的解题技巧是贴进社会生产和生活实际的数学应用问题，充分体现了数学基本方法的灵活运用和基本数学思想的渗透。下面就函数应用题的类型及解法举例分析。
一． 函数模型为反比例函数问题
例1：学校请了30个木匠，要制作200把椅子和100张课桌。已知制作一张课桌与一把椅子的工时之比为10：7，问30个木匠应当如何分组（一组制课桌另一组制椅子），能使完成全部任务最快？

分析：对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程的观点去解，使应用问题化生为熟，尽快得到解决。

解：设x个木匠制课桌，（30-x）个木匠制椅子，一个木匠在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为函数，制作200把椅子所需时间为函数 ，完成全部任务所需时间为函数y（x）=max{P（x），Q（x）}

要求的y（x）的最小值，需满足P（x）=Q（x），即 解得x=12.5 , 考虑到人数为整数,考查P（12）与Q（13）, P（12）=

Q（13）= 即y（12）>y（13）,

所以用13个木匠制课桌,17个木匠制椅子完成全部任务最快。

二．函数模型为一次函数问题

例2：某家报刊买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.80元的价格退回报社。在一个月(30天)里,又20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同,则应该每天从报社卖劲多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚得多少元?

分析：此题主要在于分析题目中的条件，建立合适的关系式，应用函数的性质去解决问题，并考虑在定义域内的局限性与实际意义。如此题每月所赚的钱=卖报所得的金额—付给报社的金额。而卖报所得的金额分三部分。从而可列出函数解析式。

解：设每天应从报社买x份，可的250≦x≦400，设每月赚y元，得

y=0.5x·20+0.5×250×10+（x-250）×0.08×10-0.35·x·30

=0.3x+1050 x∈[250,400]

因为y =0.3x+1050是定义域上的增函数,所以当x=400时, y大=120+1050=1170（元)

答：每天从报社卖进400份, 使每月所获的利润最大，每月可赚得1070元。

三．函数模型为一二次函数问题

例3：有（m）长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等矩形组成的矩形，试问小矩形的长宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并算出窗框的最大值。

分析：应用数学知识解决应用型问题，是提高数学素质的训练内容之一，教材中也多出出现，对于此题的分析要注意观察问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当的构造出函数，应用函数的具体性质去解决问题。本题中面积为两部分够成，而面积就为窗所通过的光线，从而可列出函数解析式进一步解出题目。

解：设小矩形的长为x， 宽y为 ，则由图形可得：

11x+x+9y= ∴9y=-(11+)x

要使窗所通过的光线最多,即要窗框的面积最大,则

S==+[x-(11+)x2]

=-(x-+.

所以当x= ， y=

即=1：1 此时窗框的面积s有最大值S=

四．函数模型为其他函数问题

例4：有甲乙两种商品，销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），他们与投入资金Q（万元）的关系，有经验公式： 今有3万元资金投入销售甲乙两种商品，为获得的利润最大，对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大的利润是多少？

分析：首先应根据题意，建立利润与资金之间的函数关系，求的函数解析式，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,换元法是求无理函数最值的常用方法,在换元过程中要注意变量的取值范围的变化。

解：设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资（3-x）万元，总利润y万元，据题意有：

Y= （ 0≦x≦3 ）

设=t 则x=3-t2， 0≦x≦

所以 y= 0≦x≦

当x=时 y大=1.05, 此时x=0.75 ,3-x=2.25

由此可知,为获得最大利润,对甲乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元, 获的总利润为1.05万元

总之，函数的应用是数学思想的体现，是应用数学知识解决实际问题的有效途经。如果我们学好了这部分，在具体的题目中会分析题目，找出关系量之间的联系，建立适当的函数关系式，把实际问题转化为数学模型，然后利用初等函数的性质，去解决问题。使抽象问题数学化，化生为熟。