Question

数学中极限严格定义为什么要用不等式

比如X趋近a，F(X)的极限为L，严格定义为0＜丨x－a丨＜dalte，丨F（X）－L丨＜epsilon，也就是说通过让x与a的距离小于dalte，可以使F（x）与L的距离小于给定的epsilon，这里的两个“小于”为什么不能改成“等于”，也就是丨X－a丨＝dalte，丨F（X）－L丨＝epsilon，换成语言就是“使x与a距离为dalte，可以使F（x）与a的距离等于给定的epsilon”，我觉得这样用等式也可以！为什么还要用不等式？

Answer 1

因为等于并不对，你理解不对，小于的要求更严格
从两个角度证明
1。对于y=sin(x)在x趋于0时，极限等于0，但是对于给定的epsilon=3，你无论如何选择delta，都不可能使它等于，所以epsilon不能用等于

2. 对于y=sin(1/x)/x在x趋于0时，继续不存在。但是对于任意 delta，我总能找到一个epsilon=sin(1/delta)/delta，使得你说的等于条件成立
可见，无论哪个，都可以证明你的等于规则是谬论

Answer 2

一句话，你这个定义有什么意义吗？你这样的极限定义就相当于：问：春哥，你叫什么？答：春哥

Answer 3

是个过程，不是固定的静止的，不能用等式。