Question

ab为正实数 求证a²/b+b²/a≥a+b 急急急啊 在线等

Answer 1

a²/b+b²/a≥a+b
（a²/b+b²/a） - （a+b ）
=a（a/b -1 ） +b （b/a -1）
=（a/b ）（a -b） + （b/a ）（ b-a）
= （a/b - b/a ） （a- b）
= 【（a² -b²）/（ab）】（a-b）
=（a-b）²（a+b）/（ab）
因为，ab为正实数，所以a-b ≥0 ，a+b>0 , ab>0
所以，（a²/b+b²/a） - （a+b ）≥0
所以，a²/b+b²/a≥a+b

Answer 2

(a²/b+b²/a)*(b+a)≥(a+b)^2（柯西不等式）
所以a²/b+b²/a≥a+b

或证：a²/b+b²/a-a-b=(a²-b²)/b+(b²-a²)/a=(a-b)(a²-b²)/ab=(a-b)²(a+b)/ab≥0

Answer 3

a²/b+b²/a=a³/ab+b³/ab=(a³+b³)/ab=(a+b)(a^2+b^2-ab)/ab
∵a^2+b^2-2ab=(a-b)²≥0
∴a^2+b^2≥2ab
∴a^2+b^2-ab≥ab
∴(a^2+b^2-ab)/ab≥1
∵a、b为正实数
∴(a+b)(a^2+b^2-ab)/ab≥a+b
即a²/b+b²/a≥a+b

Answer 4

很简单同时乘以ab即
（a+b）（a*a+b*b-ab）》=ab（a+b）
所以（a*a+b*b-ab）》=ab
（a-b）（a-b）》=0成立