Question

数学求解！会的请进！

设函数f（x）＝e^x （）求证：当x∈R时，f（x）≥1＋w；（2）若当x≥0时，f（x）＝1＋x＋ax^2恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（1）当 时， ， ；
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴ ， ．
（2）①在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）
令 ＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f1（x）-f（x）= ＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
∵
1）若 ，令p′（x）=0，得极值点x1=1， ，
当x2＞x1=1，即 时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
2）若 ，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足 ，
所以 ≤a≤ ．
又因为h′（x）=-x+2a- = ＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
h（x）＜h（1）= +2a≤0，所以a≤
综合可知a的范围是[ ， ]．
②当 时，
则y=f2（x）-f1（x）= x2- lnx，x∈（1，+∞）．
因为y′= ＞0，y=f2（x）-f1（x）在（1，+∞）为增函数，
所以f2（x）-f1（x）＞f2（1）-f1（1）= ．
设R（x）=f1（x）+ （0＜λ＜1），则f1（x）＜R（x）＜f2（x），
所以在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个．