Question

定义域为（0，+∞）的单调函数f(x),对于任意x∈(0,+∞),有f[f(x)+log1/2(x)]=3,则 f(x)=2+x^1/2有几个解？

Answer 1

详见图片！

Answer 2

(1)我们首先证明2^(1/2)<e^(1/e)
设h(x)=x^(1/x)=e^ln[x^(1/x)]=e^[(1/x)lnx](x>0)
h'(x)=[(-1/x^2)lnx+1/x^2]e^[(1/x)lnx]=(1/x^2)(1-lnx)x^(1/x)。x=e时，h(x)取极大值(也是最大值)。
对于x>0且x<>e，则有h(x)=x^(1/x)<h(e)=e^(1/e)。所以2^(1/2)<e^(1/e)
(2)因为f(x)是单调函数，所以只存在唯一的常数C>0，使得f(C)=3
而f[f(x)+log1/2(x)]=3，所以f(x)+log1/2(x)=C，f(x)=-log1/2(x)+C=log2(x)+C
f(C)=log2(C)+C=3 2^(3-C)=C有唯一解，即C=2。f(x)=log2(x)+2
(3)log2(x)+2=2+x^(1/2) 方程为log2(x)=x^(1/2)
设g(x)=log2(x)-x^(1/2)(x>0) g'(x)=1/(xln2)-1/[2x^(1/2)]=[2-x^(1/2)ln2]/(2xln2)
当0<x<4/(ln2)^2时，g'(x)>0，g(x)增；当x>4/(ln2)^2时，g'(x)<0，g(x)减。
g[4/(ln2)^2]=log2[4/(ln2)^2]-2/ln2=2-2log2(ln2)-2/ln2=(2/ln2)ln[2/(eln2)]
由(1)知，2^(1/2)<e^(1/e) ln2<2/e 2/(eln2)>1。所以g[4/(ln2)^2]=(2/ln2)ln[2/(eln2)]>0
而1<4/(ln2)^2<64，g(1)=-1<0且g(64)=6-8=-2<0
所以g(x)在区间(1,4/(ln2)^2)和(4/(ln2)^2,64)上各有一个零点(是x=4和x=16)
所以方程f(x)=2+x^1/2有2个解。