Question

已知O为坐标原点，F为椭圆C：

已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+y2/2=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为负根号2的直线l与c交予AB两点，点P满足OA+OB+OP=0（向量和）
（1）证明点P在C上
（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明A，P，B，Q四点在同一圆上

Answer 1

(1)
求得F(0,1)
直线l y=-(√2) x+1
结合椭圆C：x²+y²/2=1
得到 4x²-(2√2) x-1=0
所以 xA+xB=(√2)/2 yA+yB=1
从而 P（-(√2)/2，-1）
显然满足椭圆方程，即在C上

（2）
Q 与P、O线
|PQ|²=4|OP|²=6

在（1）中可以看出，AB的中点M为（(√2)/4，1/2），易看出在PQ上，且为OQ的中点。
即AB、PQ交与点M。
M将AB平分，将PQ分为3:1的两段。

从（1）中可以求出，|xA-xB|=(√6)/2
|AB|²=（1+2）|xA-xB|²=9/2

|MA|*|MB|=（1/2）*（1/2）*|AB|²=9/8
|MP|*|MQ|=（3/4）*（1/4）*|PQ|²=9/8
所以
|MA|*|MB| =| MP|*|MQ|
故
A，P，B，Q四点在同一圆上